（练习）课时分层作业9 数列的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(九)　数列的应用 一、选择题 1．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有(　　) A．300个　　　　　 B．320个 C．340个 D．360个 B　[由题意，在等差数列{an}中，n＝16，a8＋a9＝40， 则S16＝＝8(a8＋a9)＝8×40＝320．故选B．] 2．某工厂去年总产值为a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是(　　) A．1.14a B．1.15 a C．1.16 a D．(1＋1.15) a B　[去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a＋10%a，即a(1＋0.1)，第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a(1＋0.1)(1＋0.1)， 依此类推，第五年是a(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)＝1.15a，故选B．] 3．某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款(　　) A．a(1＋x)5 B．a(1＋x)6 C．a(1＋x)4 D．a(1＋x5) A　[一年后，可取回款a(1＋x)， 二年后，可取回款a(1＋x)2， 三年后，可取回款a(1＋x)3， 四年后，可取回款a(1＋x)4， 五年后，可取回款a(1＋x)5，故选A．] 4．某县2020年12月末人口总数为57万，假如从2021年元月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2021年12月末为止人口总数为57.24万，则2021年10月末的人口总数为(　　) A．57.1万 B．57.2万 C．57.22万 D．57.23万 B　[根据题意，某县2020年12月末人口总数为57万，从2021年元月1日起人口总数每月按相同数目增加，则每月月末的该县的总人口为等差数列，设这个数列为{an}，且a1＝57，设其公差为d(单位为万)，又由到2021年12月末为止人口总数为57.24万，则有a1＝57，a13＝57.24，则有d＝＝0.02， 2021年10月末的人口总数为即a11＝a1＋10d＝57.2．故选B．] 5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？(　　) A．　　　B．　　　C．9　　　D．10 B　[根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2， 设该等比数列为{an}，又由她5天共织布5尺，则S5＝＝5，解可得a1＝， 则a2＝a1×q＝×2＝，故选B．] 二、填空题 6．要在一段公路上每隔100米竖一块路程牌，共需竖60块路程牌，并依次将它们编号为1，2，3，…，60．为完成竖牌的任务，要求先用一辆汽车把60块路程牌全部集中到n(n≤60，n∈N＋)号牌处，再由一个工人从n号牌处出发，用自行车每次运一块路程牌到规定地点竖牌，当n＝________时，工人竖牌时所行的路程最少，最少路程是________千米． 30或31　180　[路程牌集中到n号牌处时，该工人所行总路程为Sn＝2×100×(n－1)＋2×100×(n－2)＋…＋2×100×1＋2×100×1＋2×100×2＋…＋2×100×(60－n) ＝200×[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋2＋…＋(60－n)] ＝200× ＝200×(n2－61n＋1 830) ＝200×． 因为n∈N＋，所以当n＝30或n＝31时，(Sn)最小＝180(千米)． 即n取30或31时，工人竖牌时所行的路程最少，最少路程是180千米．] 7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟． 7　[1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥100， ∴≥100，∴2n≥101，∴n≥7， 即至少需7秒细菌将病毒全部杀死．] 8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励． 2 046　[设第十名到第一名得到的奖金分别是a1，a2，…，a10， 则an＝Sn＋1，∴a1＝2，an－an－1＝an，∴an＝2an－1． 则每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S10＝＝2 046．] 三、解答题 9．小张在2020年初向银行贷款50万元购房，银行贷款的年利