（练习）课时分层作业5 等差数列的前n项和-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(五)　等差数列的前n项和 一、选择题 1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(　　) A．7　　　B．15　　　C．20　　　D．25 B　[设{an}的首项为a1，公差为d，则有所以 所以S5＝5a1＋d＝15．] 2．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为(　　) 三角锥垛 A．45 B．36 C．28 D．21 D　[由题意分析可得a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式an＝，a6＝＝21．故选D．] 3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5　　B．7　　C．9　　D．11 A　[法一：∵a1＋a5＝2a3， ∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3， ∴a3＝1， ∴S5＝＝5a3＝5，故选A． 法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1， ∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．] 4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A．1　　B．－1　　C．2　　D． A　[＝＝＝×＝1．] 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，那么的值为(　　) A．　　B．　　C．　　D． D　[设S4＝m，则S8＝3m，由性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝m，S8－S4＝2m，所以S12－S8＝3m，S16－S12＝4m，所以S16＝10m，∴＝＝．] 二、填空题 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为整数，现有四个等式：①a2＝3；②a5＝8；③S3＝9；④S5＝25，若其中有且只有一个等式不成立，则S10＝________． 100　[设等差数列{an}的公差为d，公差为整数，若①a2＝3；②a5＝8都成立；则8＝3＋3d，解得d＝不是整数，因此①②不能同时成立． 因此可能为①③④，或②③④． 若①③④成立，则a1＋d＝3，3a1＋3d＝9，5a1＋10d＝25， 解得：a1＝1，d＝2， ∴S10＝10×1＋×2＝100， 既然①③④成立，说明②不成立． 故答案为100．] 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝22，S5＝100，则S10＝________． 350　[法一：设等差数列{an}的公差为d，则解得所以S10＝10×8＋×10×9×6＝350． 法二：设Sn＝An2＋Bn， 则解得所以S10＝3×102＋5×10＝350．] 8．古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，第四日织九尺，则第七日织__________尺，八日共织__________尺． 15　80　[设该女子第n(n∈N*)日织an尺布，可知数列{an}为等差数列， 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则 ，解得 ， ∴a7＝a1＋6d＝15，S8＝8a1＋d＝8×3＋28×2＝80． 因此，该女子第七日织15尺布，八日共织80尺布．故答案为：15；80．] 三、解答题 9．(2021·新高考卷Ⅱ)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项的和，若a3＝S5，a2·a4＝S4． (1)求{an}的通项公式； (2)求使得Sn>an的n的最小值． [解]　(1)设等差数列{an}公差为d， ∴ 由①得a1＋2d＝0⇒a1＝－2d，代入②得(－d)·d＝－8d＋6d⇒d2－2d＝0， ∵d≠0，∴d＝2，∴a1＝－4，∴an＝－4＋2(n－1)＝2n－6． (2)Sn＝－4n＋·2＝n2－5n， 由Sn＞an⇒n2－5n＞2n－6，∴n2－7n＋6＞0，(n－1)(n－6)＞0， ∴n＞6，故n的最小值为7． 10．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息． (1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？ (2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？ [解]　由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250． (1)∵a15＝－10×15＋250＝100， ∴到下午6时，最后一辆车行驶了100 min． (2)这支车队所有车辆行驶的总时间