4.3.1等比数列的概念、通项公式和性质及应用课件（第一课时）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念及通项公式（第一课时） 1 具体实例 等差数列 的概念 代数运算 归纳法 累加法 通项公式 函数角度 数 一次函数 形 抽象概念 等差数列： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 还可以 做哪些运算？ 复习引入 实例1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 实例2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： 意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。 实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是： 2，4，8，16，32，64，…   ⑤ 细菌个数 第一次 第二次 第三次 2 4 第 n 次 …… 分裂次数 8 实例4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥ 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. ① ② ③ ④ 2，4，8，16，32，64，…   ⑤ a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥ 取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 9． 共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 思考：请同学们仔细观察以下四个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律? 探究1：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？ 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示 等差数列 定义 符号 等比数列 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________. 常数叫做等____数列的_____ 二 比 同 等比数列 公比 公比通常用字母q表示(q≠0) 比 新知1.等比数列的概念 若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列； 这个常数叫做公比，记为q(q≠0). 注：①等比数列的每一项和公比都不为0. 如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列； 0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列； 非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1. 成立条件：q≠0，an≠0 探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 类比 不完全归纳法得 an=a1+(n-1)d 不完全归纳法得an=a1qn-1 累乘法 等比数列的通项公式的推导 累加法 类比 等比数列的通项公式： 思考：已知等比数列的第m项am，公比为q，求通项公式an. 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 指数型函数 思考1：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？ 探究4：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？ q q>1 0<q<1 a1>0 a1<0 q=1 a1 从图象上看，表示等比数列{an} 中的各项的点是指数型函数 图象上一群孤立的点. 思考2：公比q＞0且q≠1的等比数列的图象有什么特点？ 等比数列的通项公式： 小结：证明数列单调性的方法 5.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值. 课本P34 等差中项 等比中项 如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 如果三个数a, G, b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项. 定义 a, A, b成等差数列 a, G, b成等比数列 关系 注意：若a, b同号,则有两个等比中项;若a, b异号,则无等比中项. 探究3：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数； ②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab； 而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比. ③一个等比数列从第2项起，每一项an是它的前一项an－1与后一项 an+1的等比中项. ±4