3.2圆锥曲线的方程单元知识总结与方法提炼讲义---2023-2024学年高二数学上学期期末复习讲练系列（人教A版2019）解析版

第三章圆锥曲线的方程 知识总结与方法提炼 重点一：圆锥曲线的定义、标准方程与性质 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a　(2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线)． 2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：＋＝1或＋＝1(a＞b＞0) (2)双曲线：－＝1或－＝1(a＞0，b＞0) (3)抛物线：y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p＞0) [题型1] 圆锥曲线的定义及标准方程 例1. (1)椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D. (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (3)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 [题型2] 圆锥曲线标准方程求参数 例2. (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　B　) A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25) C．(8,25) D．(8，＋∞) (2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值 3．圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝． ②在双曲线中c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝． (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)． ②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)． (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝∓． ②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝∓． (4)圆锥曲线的其他性质 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 图形 封闭图形 无限延展，但有渐近线 y＝±x或y＝±x 无限延展，没有渐近线 变量 范围 |x|≤a，|y|≤b 或|y|≤a，|x|≤b |x|≥a或|y|≥a x≥0或x≤0 或y≥0或y≤0 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 e＝，且0＜e＜1 e＝，且e＞1 e＝1 决定形状 的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小 [题型3] 圆锥曲线的性质 例3. (1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 A. B. C. D. (2)双曲线－＝1的渐近线方程是(　C　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (3)椭圆x2＋＝1(0＜b＜1)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P(m，n)在直线y＝－x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为(　A　) A． B． C． D． 重点二：直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 1. 直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 [题型4] 直线与圆锥曲线的位置关系 例4. (1)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． (2)过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　C　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 (3)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． 2．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． ①直线与圆锥曲线相交时的弦长 斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝　 ②抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则①x1x2＝，y1y2＝； ②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)，当α=90°时，AB叫抛