3.1圆锥曲线的方程单元教材要点详解讲义--2023-2024学年高二数学上学期期末复习讲练系列（人教A版2019）解析版

第三章　圆锥曲线的方程 一、单元复习教材要要点详解 教材要点1 　椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__常数__(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2． 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|． 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝__2a__(常数)且2a__＞__|F1F2|． 教材要点2 　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 __＋＝1(a＞b＞0)__ __＋＝1(a＞b＞0)__ 图形 焦点坐标 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ a，b，c的关系 __b2＝a2－c2__ 教材要点3 　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 __－a≤x≤a，－b≤y≤b__ __－b≤x≤b，－a≤y≤a__ 顶点 __A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)__ __A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)__ 轴长 短轴长|A1A2|＝__2b__，长轴长|B1B2|＝__2a__ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：__x轴、y轴__ 对称中心：__原点__ 离心率 e＝∈__(0,1)__ 教材要点4 　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔__＋＝1__； 点P在椭圆内部⇔__＋＜1__； 点P在椭圆外部⇔__＋＞1__． 教材要点5 　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ__＞__0 相切 一解 Δ__＝__0 相离 无解 Δ__＜__0 教材要点6 　直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝__|x1－x2|__＝__|y1－y2|__，一般地，|x1－x2|＝用根与系数关系求解． 教材要点7 　双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__绝对值__等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M｜||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}． 3．焦点：两个__定点F1，F2__． 4．焦距：__两焦点间__的距离，表示为|F1F2|． 教材要点8 　双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 __－＝1(a＞0，b＞0)__ __－＝1(a＞0，b＞0)__ 焦点 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ a，b，c的关系 c2＝__a2＋b2__ 教材要点9 　双曲线的性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c＝2 范围 __x≥a或x≤－a__ __y≤－a或y≥a__ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b 渐近线 __y＝±x__ __y＝±x__ 离心率 e＝____，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间 的关系 c2＝__a2＋b2__(c＞a＞0，c＞b＞0) 教材要点10 　等轴双曲线 实轴和虚轴__等长__的双曲线，它的渐近线方程是__y＝±x__，离心率为． 教材要点11 　直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线__平行__，直线与双曲线__相交于一点__． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有__两__个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有__一__个公共点； Δ＜0⇒直线与双曲线有__0__