直线和圆的方程单元知识总结与方法提炼讲义---2023-2024学年高二数学上学期期末复习讲练系列（人教A版2019）解析版

第二章直线和圆的方程 知识总结与方法提炼 重点一：直线的有关问题 1. 直线的倾斜角和斜率 （1） 倾斜角 如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180° [题型1] 直线的倾斜角 例1. (1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(　　) A．0°≤β＜180°　　　　　　 B．15°＜β＜180° C．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° (2)已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为___． （2）斜率公式 ①已知直线的倾斜角为α(α≠90°)，则直线的斜率为k＝tan α． ②已知直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)，则直线的斜率为k＝　(x2≠x1)． [题型2] 直线的斜率 例2.若A(1,0)，B(－3，m)，直线AB的斜率为－，则m＝(　) A．－8 B．－2 C．2 D．8 [题型3] 倾斜角和斜率的应用 例3.1 已知直线过点，求直线的斜率和倾斜角的范围． 例3.2 　(1)若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(　　) A．2 B．3 C．9 D．－9 (2)已知点P(－1，－1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率取值范围为___． 2. 直线的两种位置关系 ①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (ⅰ)两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2． (ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0时： (ⅰ)l1与l2平行或重合⇔A1B2－A2B1＝0． (ⅱ)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． [题型4] 直线平行 例4.1 已知A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________. 例4.2 已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝________. [题型5] 直线垂直 例5 若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． [题型6] 直线平行与垂直的综合应用 例6 在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标． 3. 直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 __y－y0＝k(x－x0)__ 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 __y＝kx＋b__ 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ __x1≠x2，y1≠y2__ 截距式 ＋＝1 不能表示__与坐标轴平行及过原点的直线__ 一般式 __Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)__ 无 注：直线各种形式方程的互化 [题型7] 直线方程 例7 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1． [题型8] 含参数的直线一般方程问题 例8.1 设直线l的方程为ax＋y＋2－a＝0(a∈R)． ①若直线l与直线l1：2x＋y－2＝0垂直时，求a的值； ②若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程． 例8.2 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 4.三种距离公式 ①两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝． ②点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝． ③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离d＝． [题型9] 两直线之间的交点和距离问题 例9.1 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 例9.2 已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 例9.3 两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B． C． D． 例9.4 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y