1.2空间向量与立体几何单元知识总结与方法提炼讲义-2023-2024学年高二数学上学期期末复习讲练系列（人教A版（2019））

第一章空间向量与立体几何 知识总结与方法提炼 重点一：空间向量及其线性运算 1.空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. (4)几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 2. 空间向量的线性运算 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 数乘 i：当λ>0时，λa与向量a方向相同； ii：当λ<0时，λa与向量a方向相反； iii：当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘运算律 ①结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. ②分配律：，.（其中，） [题型1] 空间向量的线性运算 例1. 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为B1C的中点，化简下列各向量表达式，并标出化简结果的向量。 （1）； （2）； （3）。 3. 共线向量和共面向量 （1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使. （2）直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. （3） 共面向量：i.平行于同一个平面的向量叫做共面向量． ii.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. iii.空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. [题型2] 向量共线问题 例2. 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． [题型3] 向量共面问题 例3. 对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点。 试证：与，共面。 4.空间向量的数量积运算 （1）空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则__∠AOB__叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 范围：0≤〈a，b〉≤π． 当〈a，b〉＝0时，两向量同向共线；当〈a，b〉＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π； 如果，那么向量a，b互相垂直，记作. （2）空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. （3）数量积的性质： （i）若是非零向量，则 （ii）若与同向，则 若反向，则 特别地：或 （iii）若θ为的夹角，则 （iiii）（当时等号成立） （4）空间向量数量积的运算律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，；（交换律）；（分配律）. （5）投影向量：（i）如图（1），为向量在向量上的投影向量： （ii）如图（2），为向量在直线l上的投影向量 （iii）如图（3），为向量在平面α上的投影向量，向量，的夹角就是向量所在直线与平面α所成的角。 注意： 1. 两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π。 2. 两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零。 3. 数量积的几何意义是：等于的长度与在的方向上的投影的乘积。 [题型4] 空间向量数量积的运算 例4. 如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点。求下列向量的数量积： （1）·； （2）·； （3）（＋）·（＋）。 [题型5] 利用数量积证明空间垂直关系 例5已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. [题型6] 利用数量积求夹角 例6如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值。 [题型7] 利用数量积求距离 例7.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长． 5.空间向量基本定理 （1）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得. （2）如果