第02讲 函数的切线问题-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第02讲 函数的切线问题 【人教A版2019】 ·模块一 导数的几何意义 ·模块二 课后作业 模块一 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就 是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-). 2．切线方程的求法 (1)已知切点时求切线方程的方法： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). (2)切点未知时的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 【考点1 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例1.1】（2023下·高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【例1.2】（2022上·河南·高三校联考阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·广东梅州·高二统考期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023下·湖北·高二校联考期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例2.1】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023下·山东东营·高二统考期末）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【考点3 已知切线（斜率）求参数】 【例3.1】（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）若直线与曲线相切，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3.2】（2023上·四川·高三南江中学校联考阶段练习）曲线在处的切线的斜率大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023下·西藏日喀则·高二统考期末）已知函数的图象在点处的切线与平行，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【变式3.2】（2023·陕西·校联考模拟预测）函数的图象与直线相切，则以下错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【考点4 切线的条数问题】 【例4.1】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【变式4.1】（2022下·山东泰安·高二统考期中）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2023上·山东临沂·高二统考期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点5 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例5.1】（2023·全国·高三专题练习）设函数，若直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求的值； 【例5.2】（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； 【变式5.1】（2022·高二课时练习）已知函数，点、为函数图像上两点，且过A、B两点的切线互相垂直，若，求的最小值． 【变式5.2】（2023下·江西·高二校联考期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 模块二 课