第05讲 复数的概念-【寒假预科讲义】2024年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第05讲 复数的概念 【人教A版2019】 ·模块一 数系的扩充和复数的概念 ·模块二 复数的几何意义 ·模块三 课后作业 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【考点1 复数的分类及辨析】 【例1.1】（2022·高一课时练习）在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.2】（2023下·高一课前预习）下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【变式1.1】（2023上·四川遂宁·高二校考阶段练习）如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·高一课时练习）对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【考点2 复数的相等】 【例2.1】（2023·内蒙古包头·一模）设，其中a，b是实数，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2022·高一课时练习）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023下·山西阳泉·高一统考期末）已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2022·全国·高一专题练习）下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 模块二 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫