第04讲 正弦定理与余弦定理-【寒假预科讲义】2024年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第04讲 正弦定理与余弦定理 【人教A版2019】 ·模块一 余弦定理 ·模块二 正弦定理 ·模块三 三角形面积公式 ·模块四 课后作业 模块一 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 【考点1 余弦定理边角互化的应用】 【例1.1】（2023上·浙江金华·高二校考开学考试）在中，角所对的边分别为，若，则角（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023下·云南红河·高一校考阶段练习）已知一个三角形的三边分别是a、b、，则此三角形中的最大角为（　　） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·陕西商洛·高二校考期末）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式1.2】（2023上·陕西商洛·高二校考期末）在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 【考点2 余弦定理解三角形】 【例2.1】（2023下·河南郑州·高一校考期末）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·四川自贡·统考一模）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（    ）. A．4 B．5 C．6 D．6或 【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，D是BC的中点，E是线段AC上的点，且，，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式2.2】（2023·安徽·池州市校联考模拟预测）如图是一块空旷的土地，准备在矩形区域内种菊花，区域内种桂花，区域内种茶花.若面积是面积的3倍，，，则当取最小值时，菊花的种植面积为（    ） A． B． C． D． 模块二 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【考点1  正弦定理边角互化的应用】 【例1.1】（2023·陕西商洛·统考一模）在△中，角的对边分别是，则=（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）记的内角的对边分别为，，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·全国·高三专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【变式1.2】（2023·上海普陀·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【考