第10讲 矩形-2023-2024学年八年级数学下册寒假自学课（人教版）

第10讲 矩形 【人教版】 ·模块一 矩形的性质 ·模块二 矩形的判定 ·模块三 课后作业 模块一 矩形的性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】 （1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形， 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 3、直角三角形斜边上中线的性质 性质 数学语言 主要应用 图示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图所示，在中， 证明线段倍分、相等关系 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 【考点1 矩形的性质】 【例1.1】（2023上·山东青岛·八年级校考期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023上·山东青岛·八年级统考期中）如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，将沿翻折得交x轴于点D，则D的坐标是 ，E的坐标是 ． 【变式1.1】（2023上·福建宁德·八年级统考期中）如图，在矩形中，是边上一点（不与，重合），且．求证：是边中点．    【变式1.2】（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在矩形中，点为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧过与的交点，连接．若，，则 ． 【变式1.3】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，点A，B在方格纸的格点上，请按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中，作一个以为边的平行四边形，使平行四边形的顶点都在格点上． (2)在图2中，作一个以为边的矩形，使矩形的顶点都在格点上． 【考点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 【例2.1】（2023下·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，在线段的同侧任作，．E是的中点，连接、、，则的形状一定是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【例2.2】（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2.3】（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【变式2.1】（2023上·江苏南京·八年级南京市科利华中学校考阶段练习）如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【变式2.2】（2023下·湖南张家界·八年级统考期中）如图，在中，是边上的高，E、F分别是边的中点，若，，则的长为 ． 【变式2.3】（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在中，于D，于E，点M，N分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的值． 模块二 矩形的判定 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 【考点1 根据矩形的定义判定】 【例1.1】（2023下·江苏镇江·八年级统考期中）木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为，另一组对边的长为均，一条对角线长为，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理 ．（填合理