第07讲 运用勾股定理解最短路径问题-2023-2024学年八年级数学下册寒假自学课（人教版）

第07讲 运用勾股定理解最短路径问题 【人教版】 ·模块一 翻折问题 ·模块二 饮水问题 ·模块三 动点问题 ·模块四 几何体中的最短路径问题 ·模块五 课后作业 模块一 翻折问题 【例1.1】（2023上·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点F处，连接交于点D，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 【例1.3】（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点T处，折痕为MN，当点T在直线上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为 （计算结果不取近似值）． 【变式1.1】（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点D是边上的点，，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是 ．    【变式1.2】（2023上·江苏镇江·八年级校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【变式1.3】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    模块二 饮水问题 【例2.1】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，牛棚在B处，A、B到河岸的距离相等，即，若点A到河岸的距离为，C、D两点间的距离为，则牧童从A处把牛牵到河边饮完水，再把牛送回牛棚的最短路程是 ． 【例2.2】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)面出格点（顶点均在格点上）关于直线l对称的； (2)在l上画出点P，使最小，这个最短长度的平方是______. 【例2.3】（2023上·湖南株洲·八年级校考阶段练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】 （1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】 如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有 ） 【变式2.1】（2023上·湖南湘西·八年级校考期中）如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路、，且，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．    (1)找到堆放点P的位置； (2)求的最小值． 【变式2.2】（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是