第07讲 平行线中四种常见模型-2023-2024学年七年级数学下册寒假自学课（人教版）

第07讲 平行线中四种常见模型 【人教版】 ·模块一 “猪蹄”型（含锯齿型） ·模块二 “铅笔”型 ·模块三 “鸡翅”型 ·模块四 “骨折”型 ·模块五 课后作业 模块一 “猪蹄”型（含锯齿型） 【例1.1】（2023下·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，，设，那么x，y，z的关系式为 ．    【例1.3】（2023下·广东东莞·八年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【变式1.1】（2023下·湖北黄冈·八年级阶段练习）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）    A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 【变式1.2】（2023下·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，，，求的度数． 【变式1.3】（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，，平分，平分，的余角等于的补角，求的度数. 模块二 “铅笔”型 【例2.1】（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 【例2.2】（2013下·八年级课时练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【例2.3】（2023下·天津滨海新·八年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【变式2.1】（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，，与的角平分线相较于点，，求的度数. 【变式2.2】（2023下·陕西西安·八年级西安市第八十三中学校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【变式2.3】（2023下·内蒙古·八年级校考期中）综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 模块三 “鸡翅”型 【例3.1】（2023下·浙江台州·八年级统考期末）如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F． 求证：． 证明：∵于点A，于点F，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴AD∥EF，（    ） ∴__________（    ） ∵AE∥CD，（已知） ∴________．（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴．（等量代换） 【例3.2】（2023下·福建厦门·八年级厦门市第十一中学校考期中）已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 【例3.3】（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【变式3.1】（2023上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【变式3.2】（2023下·浙江·八年级期末）已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若