（练习）课时分层作业10 余弦函数的性质与图像-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十)　余弦函数的性质与图像 一、选择题 1．函数y＝－cos x的图像与余弦函数图像(　　) A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于原点和坐标轴对称 C　[由y＝－cos x的图像知关于原点和x轴对称．] 2．函数y＝3cos 2x＋4(x∈R)是(　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 A　[函数f(x) ＝3cos 2x＋4，由于x∈R， f (－x)＝3cos (－2x)＋4＝f(x) ，故函数为偶函数，最小正周期为T＝＝π．] 3．函数f(x) ＝3cos图像的一个对称中心是(　　) A．　　 B． C． D． B　[对于函数f(x) ＝3cos的图像，令4x＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝－，k＝1时得函数f(x) 的一个对称中心是．] 4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　) A． B．∪ C． D． A　[因为sin x>|cos x|，所以sin x>0，所以x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈． ] 5．三个数cos ，sin ，－cos 的大小关系是(　　) A．sin ＞cos ＞－cos B．cos ＞－cos ＞sin C．cos ＜sin ＜－cos D．－cos ＜sin ＜cos C　[sin ＝cos，－cos ＝cos． 因为π＞＞－＞π－＞0，而y＝cos x在[0，π]上单调递减， 所以cos ＜cos＜cos， 即cos ＜sin ＜－cos ．] 二、填空题 6．函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝________． ±　[因为4π＝，所以ω＝±．] 7．函数y＝cos的单调递减区间为________． (k∈Z)　[y＝cos＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函数的单调减区间为(k∈Z)．] 8．已知函数f(x) ＝2cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f ＝________． －　 [观察图像可知：f(x) 的最小正周期T＝×＝π，所以ω＝2， 又因为f ＝2cos＝2， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以f(x) ＝2cos， 所以f ＝2cos＝2cos ＝－．] 三、解答题 9．把函数y＝cos的图像向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值． [解]　由题意平移后的函数为y＝cos，它是偶函数，因此，当x＝0时，cos取得最大值为1或最小值为－1，故－φ＝2kπ或(2k＋1)π(k∈Z)，即－φ＝kπ(k∈Z)． 所以φ＝－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值． 10．若函数f(x) ＝cos (ωx＋φ)的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为，且x＝时f(x) 有最小值． (1)求f(x) 的解析式． (2)若x∈，求f(x) 的值域． [解]　(1)因为函数f(x) 的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为，所以＝， 所以f(x) 的周期为T＝π，即＝π，所以ω＝2； 又因为x＝时f(x) 有最小值， 所以f ＝cos＝－1， 所以＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝－， 所以f(x) 的解析式f(x) ＝cos． (2)因为x∈，≤2x－≤， 当2x－＝π时，f(x) 取得最小值－1， 当2x－＝时，f(x) 取得最大值， 所以f(x) 的值域是． 11．(多选题)设函数f(x) ＝cos，则下列结论正确的是(　　) A．f(x) 的一个周期为2π B．y＝f(x) 的图像关于直线x＝－对称 C．f 的一个零点为π D．f(x) 在上单调递减 ABC　[由函数f(x) ＝cos知，在A中，由余弦函数的周期性得f(x) 的一个周期为2π，故A正确；在B中，函数f(x) ＝cos的对称轴满足条件x＋＝kπ，即x＝kπ－，k∈Z．所以y＝f(x) 的图像关于直线x＝－对称，故B正确；在C中，f ＝cos＝－sin x，－sin π＝0，所以f 的一个零点为π，故C正确；在D中，函数f(x) ＝cos在上先减后增，故D错误．故选ABC．] 12．函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是(　　) A．－1 B．1 C．－　　　 D．－5 C　[由题意，得y＝2sin2x＋2cos x－3＝2(1－cos2x)＋2cos x－3＝－2－． 因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝时，函数有最大值－．] 13．已知函数f(x) ＝2cos(ωx＋φ)－1(ω>0，|φ|<π)的一个零点是x＝，当x