（练习）课时分层作业8 正弦函数的性质与图像-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(八)　正弦函数的性质与图像 一、选择题 1．三角函数y＝sin 是(　　) A．周期为4π的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数 A　[三角函数y＝sin 是奇函数，它的周期为＝4π，故选A．] 2．(多选题)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin|x| B．y＝xsin|x| C．y＝－sin|x| D．y＝sin(－|x|) ACD　[对于A选项，函数的定义域为R，设f(x) ＝sin|x|，则f (－x)＝sin|x|＝f(x) ，故函数为偶函数，符合题意． 对于B选项，函数的定义域为R， 设f(x) ＝xsin|x|，f (－x)＝－xsin |x|＝－f(x) ，故函数为奇函数，不符合题意． 对于C选项，函数的定义域为R，设f(x) ＝－sin |x|，f (－x)＝－sin |x|＝f(x) ，故函数为偶函数，符合题意． 对于D选项，函数的定义域为R，设f(x) ＝sin(－|x|)，f (－x)＝sin (－|x|)＝f(x) ，故函数为偶函数，符合题意．] 3．函数y＝4sin(2x＋π)的图像关于(　　) A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝ 对称 B　[y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，奇函数图像关于原点对称．] 4．已知函数f(x) ＝2cos2x－1＋4sin x，则f(x) 的最大值为(　　) A．3 B．1 C． D．－3 A　[函数f(x) ＝2cos2x－1＋4sin x ＝2(1－sin2x)－1＋4sin x ＝－2(sin x－1)2＋3． 当sin x＝1时，f(x) 有最大值3．] 5．函数f(x) ＝sin x－的零点个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 D　[令f(x) ＝sin x－＝0，即sin x＝， 令y1＝sin x，y2＝，在同一坐标系内分别作出y1，y2的图像如图． 由图像可知图像有7个交点，即函数有7个零点．] 二、填空题 6．比较大小：sin________sin． >　[因为0>－>－>－，且正弦函数在上单调递增，所以sin>sin．] 7．函数f(x) ＝lg(1＋2sin x)的值域为________． (－∞，lg 3]　[因为0<1＋2sin x≤3，故lg(1＋2sin x)≤lg 3．] 8．函数y＝的单调递增区间为________． (k∈Z)　[设u＝sin x，由复合函数的单调性知，求原函数的单调递增区间即求u＝sin x的单调递减区间，结合u＝sin x的图像知2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z．] 三、解答题 9．已知函数f(x) ＝． (1)化简f(x) 并求f 的值； (2)设函数g(x)＝1－2f(x) 且x∈，求函数g(x)的单调区间和值域． [解]　(1)f(x) ＝ ＝sin x， 所以f ＝sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin ＝． (2)因为f(x) ＝sin x，所以g(x)＝1－2sin x，x∈，所以g(x)的减区间为，增区间为． 因为－≤x≤， 所以－≤sin x≤1， 所以－1≤1－2sin x≤2，所以g(x)的值域为[－1,2]． 10．已知方程2cos2x＋6sin x－a＝0有解，求a的取值范围． [解]　a＝2cos2x＋6sin x＝2(1－sin2x)＋6sin x＝－2sin2x＋6sin x＋2＝－2＋＋2， 所以sin x＝－1时，amin＝－6； sin x＝1时，amax＝6， 所以a的取值范围为[－6,6]． 11．(多选题)已知函数f(x) ＝|tan x|·cos x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x) 的最小正周期为π B．f(x) 的图像关于中心对称 C．f(x) 在区间上单调递增 D．f(x) 的值域为[－1,1] BC　[因为函数f(x) ＝|tan x|·cos x＝ 画出函数f(x) 的图像，如图所示： 所以f (x＋2π)＝|tan(x＋2π)|·cos(x＋2π)＝|tan x|·cos x， f(x) 的最小正周期是2π，根据f(x) 的图像，f(x) 的图像关于中心对称，f(x) 在区间上单调递增，f(x) 的值域为(－1,1)．] 12．下列大小关系正确的是(　　) A．sin <sin B．sin 1<sin 3 C．sin <sin D．sin<sin D　[sin ＝sin >0，sin ＝－sin <0，故A错；sin 3＝sin(π－3)，因为0<π－3<1＜，所以sin(π－3)<sin 1， 所以sin 1>sin 3，故B错； sin ＝sin，sin ＝sin， 因为－<－<－<0， 所以sin<sin， sin <sin ，故C错；