（练习）课时分层作业5 同角三角函数的基本关系式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(五)　同角三角函数的基本关系式 一、选择题 1．下列结论中成立的是(　　) A．sin α＝且cos α＝ B．tan α＝2且＝ C．tan α＝1且cos α＝± D．sin α＝1且tan α·cos α＝1 C　[A中，sin2α＋cos2α＝≠1，故不成立；B中，＝，即tan α＝3，与tan α＝2矛盾，故不成立；D中，sin α＝1时，角α的终边落在y轴的正半轴上，此时tan α无意义，故不成立．] 2．化简 的结果是(　　) A．sin 　 　　 B．－sin C．cos D．－cos C　[因为0<<，所以cos >0．所以 ＝＝cos ．] 3．已知＝，则等于(　　) A． B．－　　　 C．2　　　　 D．－2 B　[因为＝， 所以＝ ＝＝＝－．] 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　) A． B． C． D． B　[1＋sin θcos θ＝1＋＝1＋＝1＋＝．] 5．函数y＝＋的值域是(　　) A．{0,2} B．{－2,0} C．{－2,0,2} D．{－2,2} C　[y＝＋．当x为第一象限角时，y＝2； 当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0．] 二、填空题 6．化简－的结果为________． －2tan2α　[－ ＝ ＝＝＝－2tan2α．] 7．若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝________． －2　[由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， 所以sin θcos θ＝－． 所以tan θ＋＝＋＝＝－2．] 8．已知＝2，则tan x＝_______，sin xcos x＝________． 3　　[法一：因为＝2，所以＝2， 解得tan x＝3， sin xcos x＝＝＝＝． 法二：由＝2可得， sin x＋cos x＝2(sin x－cos x)， 化简得sin x＝3cos x，即tan x＝3， 由＝2可得，sin x＋cos x＝2(sin x－cos x)，两边平方得1＋2sin xcos x＝4－8sin xcos x，即sin xcos x＝．] 三、解答题 9．化简：(1)． (2)． [解]　(1)原式 ＝ ＝ ＝＝ ＝1． (2)原式＝ ＝＝cos θ． 10．已知sin α＝－，且α是第__________象限角． 从①一，②二，③三，④四，这四个条件中选择一个你认为恰当的序号填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： (1)求cos α，tan α的值； (2)化简求值：． [解]　(1)因为sin α＝－，所以α为第三象限角或第四象限角； 若选③，cos α＝－＝－，tan α＝＝； 若选④，cos α＝＝，tan α＝＝－． (2)原式＝＝＝＝＝． 11．(多选题)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ ABD　[因为sin θ＋cos θ＝，① 所以(sin θ＋cos θ)2＝， 即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝， 所以2sin θcos θ＝－， 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以θ∈， 所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 所以sin θ－cos θ＝或－(舍去)，② ①＋②得sin θ＝，①－②得cos θ＝－， 所以tan θ＝＝＝－．] 12．已知－<θ<，且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是(　　) A．－3 B．3或 C．－ D．－3或－ C　[因为sin θ＋cos θ＝a，a∈(0,1)，两边平方整理得sin θcos θ＝<0，故－<θ<0且cos θ>－sin θ， 所以|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－<θ<0，－1<tan θ<0．] 13．已知sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2－x－m＝0的两根，则sin α＋cos α＝________，m＝________． 　　[由题意知 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α， 所以＝1－m，所以m＝．] 14．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________． 　[由tan A＝>0且角A是△ABC的内角可得0<A<， 又 解得sin A＝．] 15．是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦． [解]　设这两个锐角为A，B， 因为 A＋B＝90°，所以 sin B＝cos A， 所以sin A，cos A为