（讲义）第8章 8.2 8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第1课时　两角和与差的正弦 1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点) 2．能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点) 1．通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生逻辑推理的核心素养． 2．借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算的核心素养． 问题　(1)由诱导公式及两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？ (2)用类比的方法，由sin(α＋β)能推导出sin(α－β)吗？ [提示]　(1)sin(α＋β)＝cos ＝cos＝cos·cos β＋sin·sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)sin(α－β)＝sin[α＋(－β)] ＝sin αcos (－β)＋cos α·sin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β． 知识点1　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 Sα＋β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差 的正弦 Sα－β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 1．对照识记两角和与差的余弦公式的方法，你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗？ [提示]　可简单记为“正余余正，符号同”，展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　　) (2)存在α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　) (3)sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin 30°． (　　) [提示]　(1)√．根据公式的推导过程可得． (2)√．当α＝30°，β＝0°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β． (3)√．因为sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin(56°－26°)＝sin 30°，故原式正确． [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为(　　) A．　　　　　 B． C． D．以上都不对 A　[原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝．] 知识点2　辅助角公式 asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)(或asin x＋bcos x＝·cos(x－φ))，其中sin φ＝，cos φ＝(或cos φ＝，sin φ＝)． 3．函数y＝sin x－cos x的最小正周期是(　　) A． B．π C．2π D．4π C　[y＝sin x－cos x＝＝sin，所以函数的最小正周期为T＝2π．] 类型1　利用公式化简求值 【例1】　(1)＝(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． (2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值． (3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值． (1)C　[ ＝ ＝ ＝ ＝sin 30°＝．] (2)[解]　原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67° ＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1． (3)[解]　sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)·cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0． 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正负相消的项，消去，求值； ③化为分子、分母形式，进行约分再求值． (2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． 1．化简下列各式： (1)sin＋2sin－cos； (2)－2cos(α＋β)． [解]　(1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin