（讲义）第8章 8.1 8.1.3 向量数量积的坐标运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

8.1.3　向量数量积的坐标运算 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(重点) 2．能运用向量数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式．(重点、难点) 3．能根据向量的坐标判定两个向量垂直．(重点) 1．通过推导向量数量积的坐标运算及通过求夹角与模，体会逻辑推理素养与数学运算素养，培养学生数学抽象的核心素养． 2．利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的核心素养． 本节讲解平面向量数量积的坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究． 问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ [提示]　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j， 则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2． 由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0， 故a·b＝8． 8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2． 知识点1　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 1．向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？ [提示]　公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a＝(m,0)，则|a|＝m． (　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0． (　　) (3)a·b≠0，则a与b不垂直． (　　) [提示]　(1)×．若a＝(m,0)，则|a|＝|m|． (2)×．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． (3)√．a·b≠0⇔a与b不垂直． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝(　　) A．5　　　　B．4　　　　C．－2　　　　D．－1 D　[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1．] 知识点2　三个重要公式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)向量的模：a2＝x＋y⇔|a|＝． (2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝． (3)向量的夹角公式： cos〈a，b〉＝＝． 2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？ [提示]　(1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0； (2)θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2<0． 3．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________． －　[因为a＝(2,2)，b＝(－8,6)，所以a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a|＝＝2，|b|＝＝10． 所以cos〈a，b〉＝＝＝－．] 4．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________． ±4　[|a|＝＝5，所以x2＝16，即x＝±4．] 类型1　向量数量积的坐标运算 【例1】　(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________． (2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)． (1)12　[因为b＝(－2,4)，c＝(－1,2)， 所以b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)． 又因为a＝(2,3)， 所以a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12．] (2)[解]　a·b＝1×2＋3×5＝17． 因为3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)， 所以3a－b＝(1,4)， 所以|3a－b|＝＝． 因为a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)， 所以2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， 所以(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8． 1．向量数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2， (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2． (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐