（讲义）第8章 8.1 8.1.1 向量数量积的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点) 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点) 3．会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直．(重点、难点) 1．通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养． 2．利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养． 水上飞机是用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容． 问题　(1)功与向量的数量积有什么联系？ (2)数量积的几何意义是什么？ [提示]　(1)物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积． (2)两个非零向量a与b的数量积，等于向量a的长度|a|与b在a方向上的投影的数量|b|·cos θ的乘积． 知识点1　两个向量的夹角 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b． 规定：零向量与任意向量垂直． 1．在△ABC中，向量与向量的夹角是角B吗？为什么？ [提示]　不是．向量与向量的夹角是角B的补角． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个非零向量的夹角是唯一确定的． (　　) (2)若非零向量a与b共线，则〈a，b〉＝0°． (　　) [提示]　(1)√．由两个向量的夹角的定义可知． (2)×．若非零向量a与b共线，则〈a，b〉＝0°或〈a，b〉＝180°． [答案]　(1)√　(2)× 2．如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________． 互补　[根据向量夹角定义可知向量，夹角为∠BAC，而向量，夹角为π－∠BAC，故二者互补．] 知识点2　向量数量积 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． (1)当〈a，b〉∈时，a·b>0; 当〈a，b〉＝时，a·b＝0； 当〈a，b〉∈时，a· b<0． (2)两个非零向量a，b的数量积的性质： 不等式 |a·b|≤ |a||b| 恒等式 a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝ 向量垂直的充要条件 a⊥b ⇔a·b＝0 2．(1)向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？ (2)根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？ (3)|a·b|≤|a||b|中等号何时成立？ [提示]　(1)向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数乘向量的结果仍是向量，既有大小又有方向． (2)先求cos〈a，b〉＝，再根据余弦值求〈a，b〉． (3)当a与b共线时，等号成立． 3．若|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b＝(　　) A．　 B．　　　　 C．1　　　　 D．2 C　[a·b＝|a||b|cos 60°＝2×1×＝1．] 4．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45° B．135° C．120° D．150° B　[cos θ＝＝＝－． 又因为0≤θ≤π，所以θ＝，即θ＝135°．] 知识点3　向量的投影与向量数量积的几何意义 (1)作法：设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′． (2)结论：称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影． (3)投影的数量：如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量． (4)向量数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b 上的投影的数量与b的模的乘积． 3．一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？ [提示]　一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反． 5．已知|a|＝6，e为单位向量，当a与e的夹角为时，则向量a在向量e上的投影的数量为________． －3　[因为|a|＝6，|e|＝1，a与e的夹角为，所以向量a在向量e上的投影的数量为|a|·cos ＝－3．] 类型1　平面向量数量积的概念与运算 【例1】　(1)以下四种说法中，正确的是________．(填序号) ①如果