（讲义）第7章 7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.4　数学建模活动：周期现象的描述 1．会用三角函数解决简单的实际问题．(重点) 2．利用三角函数构建事物周期变化的数学模型．(难点) 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养． 温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，江心寺中题有一副非常知名的对联．上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江湖水涨落的壮阔画面．下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 问题　(1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ 2以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ [提示]　1水深随时间的变化呈周期变化． 2若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线． 知识点　四类周期现象模型 (1)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y＝Asin (ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，A＞0，ω＞0)来表示． (2)单摆、弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y＝Asin (ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示位移， A表示振幅，表示频率，φ表示初相位． (3)音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强)． (4)交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin (ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位． 1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π，，　　 B．6π，， C．3π，3，－ D．6π，3， B　[y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为．] 2．函数y＝3sin的频率为_________， 相位为________，初相为________． 　x－　－　[频率为＝，相位为x－，初相为－．] 类型1　由模型图像解决问题 【例1】　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin (ωt＋φ)． (1)如图所示的是I＝Asin (ωt＋φ)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ [解]　(1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2＝． 所以ω＝＝150π． 又当t＝时，I＝0， 即sin＝0，而|φ|＜，所以φ＝． 故所求的解析式为I＝300sin． (2)依题意，周期T≤， 即≤(ω＞0)， 所以ω≥300π＞942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943． 已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值范围． 1．弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求： (1)振动的振幅、周期和频率； (2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移． [解]　(1)设振幅为A，则2A＝20 cm， 所以A＝10 cm． 设周期为T，则＝0.5 s，所以T＝1 s，所以f ＝1 Hz． (2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)． 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm． 类型2　由模型解析式解决问题 【例2】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [思路探究]　确定函数y＝Asin (ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键． [解]　列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图像如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm． (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4