（讲义）第7章 7.3 7.3.1 正弦函数的性质与图像-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.3　三角函数的性质与图像 7.3.1　正弦函数的性质与图像 1．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点) 2．能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图像．(难点) 1．借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养． 2．通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养． 在塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图所示)．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板．这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况． 问题　1通过上述实验，你对正弦函数图像的直观印象是怎样的？ 2你能比较精确地画出y＝sin x在[0，2π]上的图像吗？ 3以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0，2π]图像的方法？你认为图像上哪些点是关键点？ [提示]　1正弦函数的图像是“波浪起伏”的连续平滑曲线． 2能，利用特殊角的三角函数的定义． 3五点作图法 y＝sin x的五点：0，0，． 知识点1　正弦函数的性质 定义域 与值域 定义域为R，值域为[－1,1] 当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 单调性 单调增区间 ，k∈Z 单调减区间 ，k∈Z 零点 kπ，k∈Z 1．正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？ [提示]　不是，是实数kπ，k∈Z． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)正弦函数在其定义域上是单调的． (　　) (2)函数f(x) ＝sin 3x是奇函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2．函数y＝xsin x是(　　) A．奇函数，不是偶函数 B．偶函数，不是奇函数 C．奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数 B　[f (－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x) ，所以y＝xsin x为偶函数，不是奇函数．] 3．若sin x＝2m－1且x∈R，则m的取值范围是________．　 [0,1]　[因为sin x＝2m－1，x∈R，所以－1≤2m－1≤1，所以0≤2m≤2,0≤m≤1，所以m的取值范围是[0,1]．] 知识点2　函数的周期性 (1)周期：对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f (x＋T)＝f(x) ，那么就称函数f(x) 为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：对于一个周期函数f(x) ，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x) 的最小正周期． 2．对非零常数T，若存在x0，使f (x0＋T)＝f(x) ，那么T是函数的周期吗？为什么？ [提示]　不是，必须对定义域内的每一个值成立． 4．函数f(x) ＝3＋sin x的最小正周期是(　　) A．　 B．π　　　　 C．　　　　 D．2π D　[函数的最小正周期T＝＝2π．] 知识点3　正弦函数的图像 (1)图像： (2)对称性：对称轴x＝＋kπ，k∈Z，对称中心(kπ，0)，k∈Z． (3)五点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (1)作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数． (2)在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接． (3)五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点． 5．下列图像中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图像的是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D D　[把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图像，故选D．] 类型1　正弦函数的性质及应用 角度1　正弦函数的周期性与奇偶性 【例1】　(1)函数y＝sin x的最小正周期为________． (2)函数f(x) ＝cos＋x2sin x的奇偶性是______． (1)4π　(2)奇函数　[(1)令u＝x，则y＝sin u是周期函数，且周期为2π． 所以sin＝sin x， 即sin＝sin x． 所以y＝sin x的周期是4π． (2)f(x) ＝sin 2x＋x2sin x， 因为x∈R，f (－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2