（讲义）第7章 7.3 7.3.5 已知三角函数值求角-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.3.5　已知三角函数值求角 1．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角．(重点、难点) 2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点) 通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养． 大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识． 问题　已知sin x＝，你能求出满足条件的角x吗？ [提示]　x＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z． 知识点　三角函数值求角 1．已知正弦值求角 对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应． 2．已知余弦值求角 对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应． 3．已知正切值求角 一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y． 1．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝(　　) A．　　　　　 B． C．或 D．或 D　[因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选D．] 2．已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________． 或　[因为x∈[0，π]， 所以2x∈[0,2π]． 因为tan 2x＝－， 所以2x＝或2x＝， 所以x＝或．] 类型1　已知正弦值求角 【例1】　已知sin x＝－，求x． [解]　法一：由sin x＝－<0可知，角x对应的正弦 线方向朝下，而且长度为，如图所示， 可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′． 又因为sin ＝sin ＝－， 所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z． 法二：因为sin x＝－， 如图所示， 由正弦函数的图像，知 在[0,2π]内，sin ＝sin ＝－， 所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z． 利用正弦值求角的方法 利用正弦线、正弦函数的图像求出一个周期(常用[0,2π]、、)内的角，再表示出定义域上的所有取值，即加周期的k(k∈Z)倍．另外还要注意范围条件的约束作用． 1．已知sin α＝，根据所给范围求角α． (1)α为锐角； (2)α∈R． [解]　(1)由于sin α＝，且α为锐角，即α∈， 所以α＝arcsin ． (2)由于sin α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin (k∈Z)， α2＝2kπ＋π－arcsin (k∈Z)， 即α＝nπ＋(－1)narcsin (n∈Z)． 类型2　已知余弦值求角、解不等式 【例2】　(1)(对接教材P58例1改编)已知cos＝，求x．　 (2)求不等式cos>－的解集． [解]　(1)由cos＝>0， 知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，如图所示， 可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′． 又因为cos ＝cos＝， 所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z． 所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z． [解]　如图所示， 在[－π，π]上，x＋＝－或x＋＝时， cos＝－，所以x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时，cos＝－． 令－＋2kπ<x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为． 利用余弦值求角、解不等式 将ωx＋φ看作整体，先求出[0,2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围． 2．求不等式2cos－<0的解集． [解]　不等式变形为cos<， 则＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为． 类型3　已知正切值求角 【例3】　(1)方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)当0<x<π时，使tan x<－1成立的x的取值范围为________． (1)C　(2)　[(1)法一：令t＝2x＋，作出函数y＝tan t的图像如图： 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z． 又由0≤<2π，所以k＝0,1,2,3． 故在区间[0,2π)上有4个解． 法二：由tan＝>0，设t＝2x＋， 所以角2x＋对应的正切线方向朝上，而且长度为，如图所示， 可知2x＋的终边可能是OT，也可能是OT′， 因为tan ＝tan ＝， 所以2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z． 又由0≤<2π，所以k＝0,1,2,3． 故在区间[0,2π)上有4个解． (2)由正切函数的图像知，当0<x<π时， 若tan x<－1，则<x<， 即实数x的取值范围是．] 已知正切值求角、解不