（讲义）第7章 7.2 7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点) 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点) 1．通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养． 2．借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养． 气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索．从中我们还可以看出，南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美得克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点． 问题　既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？ [提示]　sin2α＋cos2α＝1， tan α＝． 知识点　同角三角函数的基本关系式 平方关系 商数关系 公式 sin2α＋cos2α＝1 tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z) 语言叙述 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 常见变形 sin2α＝1－cos2α； cos2α＝1－sin2α sin α＝cos αtan α； cos α＝ (1)“同角”一词的含义是什么？ (2)两个公式成立的条件分别是什么？ [提示]　(1)一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1等． (2)平方关系对于α∈R都成立；商数关系中公式成立的条件为：α≠kπ＋，k∈Z． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)因为sin2π＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角． (　　) (2)对任意角θ，sin2＋cos2＝1都成立． (　　) (3)对任意的角α，都有＝tan α成立． (　　) [提示]　(1)×．由同角三角函数的基本关系式知：sin2α＋cos2α＝1，且α为任意角． (2)√．在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1． (3)×．当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为　(　　) A．－　 　B．　 　C．－　 　D． D　[θ是△ABC的一个内角， 由sin θcos θ＝－<0得sin θ>0， cos θ<0，sin θ－cos θ>0，又(sin θ－cos θ)2 ＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝， 所以有sin θ－cos θ＝．] 3．若sin α＋3cos α＝0，则的值为________．　 －　[因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此 原式＝＝＝－．] 类型1　同角三角函数的基本关系式及简单应用 【例1】　(1)(对接教材P23例1改编)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝，求tan α的值； (3)若tan α＝－，求sin α的值． [解]　(1)因为sin α＝－，α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－， tan α＝＝－×＝． (2)因为cos α＝>0， 所以α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时， sin α＝＝＝， 所以tan α＝＝； 当α是第四象限角时， sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝－． (3)因为tan α＝－<0， 所以α是第二、四象限角． 由可得sin2α＝． 当α是第二象限角时，sin α＝； 当α是第四象限角时，sin α＝－． 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________． －　　[法一：∵α是第三象限角， ∴sin α<0， 则sin α＝－＝－＝－，∴tan α＝＝． 法二：注意到cos α的值中有勾股数“3,4,5”中的“3,5”，又α是第三象限角，∴sin α＝－，tan α＝．] 类型2