（讲义）第7章 7.2 7.2.1 三角函数的定义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．(重点) 2．会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号．(难点) 1．通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养． 2．借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养． 如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒． 问题　(1)若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ (2)如图所示建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？ [提示]　(1)30秒时h＝h0＋Rsin 30°＝h0＋R；45秒时h＝h0＋Rsin 45°，t秒时h＝h0＋Rsin t°． (2)能，sin α＝，cos α＝，tan α＝，改变终边上点的位置，比值不会改． 知识点1　任意角的正弦、余弦与正切的定义 前提 如图，角α终边上异于原点的任意一点P(x，y)，r＝ 定义 正弦 称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 余弦 称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝ 正切 当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝ 角α的正弦、余弦、正切，都称为α的三角函数 1．三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？ [提示]　无关，三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角α的大小有关． 1．若角α的终边上有一点P(3，－4)，则sin α＋cos α＝________． －　[易知r＝＝5由三角函数定义知，sin α＝－，cos α＝， 所以sin α＋cos α＝－．] 知识点2　三角函数在各象限的符号 　 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 2．记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？ [提示]　对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值． 2．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0． (　　) (2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上异于原点的一点，则cos α＝． (　　) (3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 3．已知sin α>0，cos α<0，则角α是(　　) A．第一象限角　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[由sin α>0可知α在第一、二象限或y轴的正半轴上，由cos α<0可知α在第二、三象限或x轴的负半轴上，故角α是第二象限角．] 类型1　任意角的三角函数的定义及应用 【例1】　(1)若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有(　　) A．(－4,3)　　　 B．(3，－4) C．(4，－3) D．(－3,4) (2)(对接教材P15例1改编)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． (1)A　[(1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A．] (2)[解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－． 已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种 (1)由α的终边上一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝．已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论． 1．若角θ的终边过点P(a,8)，且cos θ＝－，则a的值是(　　) A．6 B．－6 C．10 D．－10 B　[由任意角的三角函数的定义可知＝－，且a＜0． 所以a＝－6．] 类型2　三角函数值符号的应用 【例2】　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (