（讲义）第7章 7.1 7.1.1 角的推广-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角． 2．理解象限角的概念．(重点) 3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(重点、难点) 1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养． 2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象、数学运算核心素养． 周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习． 问题　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ [提示]　时针转了－45°，分针转了－540°． 知识点1　角的概念 (1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的，也称为转角． (2)角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 1．(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？ (2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？为什么？ [提示]　(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的． (2)不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)经过1小时，时针转过30°． (　　) (2)终边与始边重合的角是零角． (　　) (3)小于90°的角是锐角． (　　) [提示]　(1)×．因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°． (2)×．终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)． (3)×．锐角是指大于0°且小于90°的角． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　角的加减法运算的几何意义 α＋β表示在角α的基础上，逆时针旋转β角度；α－β表示在角α的基础上，顺时针旋转β角度． 2．用几何意义表示角的加减运算时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边？ [提示]　在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边． 2．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________． [答案]　－25°　395° 知识点3　象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 3．把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？请说明原因． [提示]　不一定．当角的顶点与原点重合，角的始边在x轴的正半轴上时，若角的终边在哪个象限，则该角为该象限角；当角的终边在坐标轴上时，则该角不属于任何象限． 3．下列说法： ①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上) ①②③④　[由象限角定义可知①②③④都不正确．] 知识点4　终边相同的角 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α． 4．与610°角终边相同的角可以表示为(其中k∈Z)(　　) A．k·360°＋230°　 B．k·360°＋250° C．k·360°＋70° D．k·180°＋270° B　[因为610°＝360°＋250°，故选B．] 类型1　任意角的概念 【例1】　(1)下列说法正确的是(　　) A．终边相同的角一定相等 B．钟表的时针旋转而成的角是负角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．大于90°的角都是钝角 (2)小明步行从家里到学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟内，钟表的分针走过的角度是(　　) A．30° B．－30° C．60° D．－60° (1)B　(2)D　[(1)终边相同的角不一定相等，可能相隔k·360°(k∈Z)，A错；钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对；终边相同的角之间相差360°的整数倍，C错；200°>90°，但200°不是钝角，D错． (2)利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有－×10＝－60°，即分针走过的角度是－60°．] 1．理解角的概念的三个“明确” 2．判断角的概念型问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． 常见角α的范围：锐角0°<α<90