（讲义）第7章 7.1 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系． 2．了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点) 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点) 1．通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养． 2．借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养． 摄氏度与华氏温度 “在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度”． 摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其结冰点是0℃，沸点为100℃．1714年德国人法勒海特(F ahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度．人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1°F”．按照华氏温标，则水的冰点为32°F，沸点为212°F． “华氏温标”是经验温标之一．规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份， 每等份代表1度．华氏温度用字母°F表示． 摄氏温度℃和华氏温度°F之间的换算关系为： 华氏度°F＝32＋摄氏度℃×1.8，摄氏度℃＝华氏度°F－32÷1.8． 问题　1温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？ 2摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？ 3今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？ [提示]　1弧度，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，即为1弧度的角． 2可以，1°＝． 3弧度，书写方便简单． 知识点1　弧度制 1．角度制与弧度制的概念 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分． (2)弧度制 ①定义：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad． 2．角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数α＝． 1．公式α＝与所取的圆的半径大小是否有关？ [提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 知识点2　弧度制与角度制的换算 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝． 一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π π π π 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧． (　　) (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关． (　　) (3)160°化为弧度制是π rad． (　　) [提示]　(1)×．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． (2)√．“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． (3)√．160°＝160× rad＝π rad． [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．1 080°等于(　　) A．1 080 B．　　　 C．　　　 D．6π D　[1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π．] 知识点3　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αr． (2)扇形面积公式：S＝lr＝αr2． 2．我们初中学过的半径为r，圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么？ [提示]　半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝，扇形面积公式为S扇＝． 在应用公式l＝αr和S＝lr＝αr2时，要注意α的单位是弧度． 3．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________．　 6π　[扇形的面积为S＝×62×＝6π．] 类型1　弧度制的概念 【例1】　下列命题中假命题的是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 D　[根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．] 弧度制与角度制的区别与联系 区别 (1)单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位 (2)定义不同 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单