2024年中考数学探究性试题总复习-- 一元二次方程（10）

2024年中考数学探究性试题总复习-- 一元二次方程 一、综合题 1．[阅读材料] 已知x2+y2+8x-6y+25=0，求x，y的值． ． 解：将25拆分为16和9，可得(x2+8x+16)+(y2-6y+9)=0， 即(x+4)2+(y-3)2=0， ∴．x+4=0，y-3=0， ∴x=-4，y=3． （1）[解决问题] 已知m2+n2-12n+10m+61=0，求(m+n)2023的值； （2）[拓展应用]已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2=8b+4c-20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围． 2．阅读与思考 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决与非负数有关的问题和求代数式最大值，最小值等问题． 例如：； ，则当时，有最小值，最小值是5． 根据材料用配方法解决下列问题． （1）若多项式是一个完全平方式，则常数k的值为____． A．9 B．-9 　　　 C．±9 D．36 （2）分解因式：． （3）当x为何值时，多项式有最小值?并求出这个最小值． 3．提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． （2）已知实数m，n满足，求的值． 4．阅读下列材料： 材料1：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单. 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值. 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，则. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　 　.　 　. （2）类比应用：在（1）的条件下，求的值. （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值. 5．阅读材料． 将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法．这种方法常常被用到代数式的恒等变形中，其作用在于揭示代数式的非负性，是挖掘隐含条件的利器，添项，拆项是常用的方法与技巧． 例如，我们可以通过配方法，求代数式的最小值，解题过程如下： 解：∵， 又∵，∴当时，有最小值为． 请根据上述方法，解答下列问题： （1），则ab的值是　 　 （2）若代数式的最小值为2，求k的值． 6． 配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为，所以5是“完美数”. 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式　 　 （2）若可配方成（m、n为常数），则mn＝　 　； （3）【探究问题】已知，则　 　； （4）已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由. （5）【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值. 7．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题. 例如，把二次三项式进行配方. 解：. 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”. （1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是　 　. （2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为　 　； （3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值. （4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”. 8．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.