2024年中考数学探究性试题总复习-- 分式的混合运算（6）

2024年中考数学探究性试题总复习-- 分式的混合运算 一、综合题 1．【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如与， 解：， ， 是的“关联分式”． （1）【解决问题】已知分式，则　 　，的“关联分式”（填“是”或“不是”）． （2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 解：设的“关联分式”为B， 则， ， ． 请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”． （3）【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：　 　． 2．“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：. （1）计算； （2）求等式中x的值. 3．阅读下列材料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，这样的分式就是假分式.假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）. 例如：； 又如： . （1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）﹔ （2）将假分式化为带分式； （3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值. 4．材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：. 类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和. 例如：. . 材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据： a … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 请根据上述材料完成下列问题： （1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式：　 　；　 　； （2）当时.随着a的增大，分式的值　 　（填“增大”或“减小”）； （3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由. 5．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：. 根据材料和已学知识解决下列问题 （1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中. 6．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”． （1）已知分式，试说明是的“关联分式”； （2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：　 　． ②若是的“关联分式”，则的值为　 　． 7．【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故的值为． （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． （2）【拓展延伸】 已知，，，求的值． 8．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你说明这个等式的正确性； （2）若，，，你能很快求出的值； （3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值． 9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是　 　（填序号）； ①②③④ （2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 10．在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如： ＝＝1+，＝＝＝x﹣1+. 参考上面的方法解决下列问题： （1）将分式化为带分式； （2）求分式的最大值；（其中n为正整数） （3）已知分式的值是整数，求t的整数值. 11．阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　 　，　 　． （2）类比应用：已知一元二次方程的两个根分别为、，求的值． （3）思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值． 12．阅读