2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次函数（12）

2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次函数 一、综合题 1．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点” 例如、、都是“不动点”，已知双曲线 （1）下列说法错误的是（　　） A．直线的图象上有无数个“不动点” B．函数的图象上没有“不动点” C．直线的图象上有无数个“不动点” D．函数的图象上有两个“不动点” （2）求双曲线上的“不动点”； （3）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”， ①当时，求的取值范围． ②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围． 2．综合与探究． 如图1，抛物线经过，，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接，． （1）求抛物线的表达式． （2）求证：． （3）如图2，动点P从点B出发，沿着线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 3．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”. （1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值； （3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围. 4．如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点E，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作.如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为. （1）已知点、点，则　 　，　 　. （2）若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形. （3）如图3与图4，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为. ①在图3中，点C的坐标为，试求的值； ②在图4中，抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当取最大值时点Q的坐标. 5．如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及； （3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 6．定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，． （1）抛物线的“反碟长”　 　． （2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线． ①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是 ▲ ．抛物线的“反碟长”是 ▲ ． ②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是 ▲ ．（填写所有正确的选项） A.15 B.16 C.24 D.25 ③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标． 7．综合与探究 已知抛物线． （1）当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式． （2）当时，无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段的长． （3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴交于点 与y轴交于点C，点A的坐标为． （1）求b的值和点B，C的坐标； （2）若点D为的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标； （3）若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围． 9．一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直