2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次根式（7）

2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次根式 一、综合题 1．观察下列各式． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）第4个等式：　 　 （2）请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明． 2．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小. ∵ 又∵ 则 ∴， ∴. 请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是　 　，的小数部分是　 　； （2）比较与的大小. （3）已知，试用“比差法”比较与的大小. 3．先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是　 　； （2）化去式子分母中的根号：　 　，　 　； （3）比较与的大小，并说明理由. 4．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴. ∴. 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）　 　； （2）化简：； （3）若，求的值. 5．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）　 　． （2）化简； 6．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以，所以 所以，所以，所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是　 　，　 　； 的有理化因式是　 　，　 　； （2）若，求的值． 7．观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　； （3）请证明（2）中的结论. 8．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值.他是这样解答的： ∵， ∴. ∴. ∴. ∴. 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）＝　 　； （2）化简； （3）若，求的值. 9．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：　 　，　 　； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简下列各式： ① ② ③. 10．阅读下面解题过程． 例：化简． 解： 请回答下列问题． （1）归纳：请直接写出下列各式的结果： ①＝　 　； ②＝　 　． （2）应用：化简 （3）拓展：　 　．（用含n的式子表示，n为正整数） 11．设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45． （1）尝试： ①当a=1时，152=225=1×2×100+25 ； ②当a=2时，252=625=2×3×100+25； ③当a=3时，352= 1225=　 　； ．．．．．． （2）归纳：与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由． （3）运用：若与100a的差为2525，求a的值． 12．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方， 如： （1）【类比归纳】 请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方． （2）【变式探究】 若且a，m，n均为正整数，求a值. 13．材料：如何将双重二次根式，，化简呢？如能找到两个数，，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简. 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式. 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）填空：=　 　，=　 　； （2）化简：； （3）计算：+. 14．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其