特训二 中档大题保分练(8)（Word练习）（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

特训二　中档大题保分练(8) 1．已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n-1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列． (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)求证：不存在k∈N*，使得bk－ak∈(0，1). (1)解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n-1an＝8n(n∈N*)，① 则当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n-2an－1＝8(n－1)(n∈N*)，② ①－②，得2n-1an＝8，所以an＝24-n. 在①中，令n＝1，可得a1＝8＝24-1，所以an＝24-n(n∈N*). 又b1＝8，b2＝4，b3＝2，所以b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， 所以数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2， 所以bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6， 所以bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*). (2)证明：bk－ak＝k2－7k＋14－24-k. 当k≥4时，f(k)＝(k－)2＋－24-k单调递增，且f(4)＝1， 所以k≥4时，f(k)＝k2－7k＋14－24-k≥1. 又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，所以不存在k∈N*，使得bk－ak∈(0，1). 2．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，∠A＝60°，E，F分别是BC，AD的中点，将菱形ABEF沿EF折至A′B′EF的位置，使得二面角A′­EF­A的平面角为120°，连接B′C，A′D，得到斜三棱柱A′DF­B′CE. (1)求证：EF⊥B′D； (2)求直线A′D与平面A′B′EF所成角的正切值． (1)证明：连接BD交EF于点O，连接OB′，BF，DE. 在平行四边形ABCD中，∵AD＝2AB，∠A＝60°，E，F分别是BC，AD的中点， ∴△ABF为等边三角形，∴BF＝BE＝DF＝DE， ∴四边形BFDE为菱形， ∴EF⊥OD.∵EF⊥OB′，OD∩OB′＝O，OD，OB′⊂平面B′OD，∴EF⊥平面B′OD， ∵B′D⊂平面B′OD，∴EF⊥B′D. (2)解：过点D作DH⊥OB′于点H，连接A′H. ∵EF⊥平面B′OD，DH⊂平面B′OD，∴EF⊥DH，∵EF∩OB′＝O，EF，OB′⊂平面A′B′EF，∴DH⊥平面A′B′EF. ∴∠DA′H即为直线A′D与平面A′B′EF所成的角． 设AB＝2，则OB＝OB′＝OD＝. 由(1)知，∠B′OD为二面角A′­EF­A平面角的补角． ∵二面角A′­EF­A的平面角为120°， ∴∠B′OD＝60°， ∴DH＝OD·sin 60°＝，OH＝B′H＝， 其中B′O⊥A′B′，A′B′＝2. 由勾股定理得A′H＝＝， ∴tan ∠DA′H＝＝. 故直线A′D与平面A′B′EF所成角的正切值为. 3．已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足b＝2，f(A)＝1，sinA＝2sin C，求△ABC的面积． 解：(1)由条件知f(x)＝sin 2ωx－＋1＝sin (2ωx＋)＋. 因为函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝＝π，所以ω＝1. 所以f(x)＝sin (2x＋)＋. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z). 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)由f(A)＝1，得sin (2A＋)＝. 而0<A<π，则2A＋∈(，)，所以2A＋＝，故A＝. 由sin A＝2sin C及正弦定理得a＝2c. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，代入(2c)2＝22＋c2－2×2c cos ，解得c＝. 所以S△ABC＝bc sin A＝×2×sin ＝. 4．某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯管一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯管的寿命有关，该型号的灯管寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯管更换工作，只更换已坏的灯管，平时不换． (1)在第一次灯管更换工作中，求不需要更换灯管的概率； (2)在第二次灯管更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯管的概率； (3)设在第二次灯管更换工作中，需要更换的灯管数为ξ，求ξ的分布列和期望． 解：(1)设在第一次更换灯管工作中，不需要更换灯管的概率为P1，则P1＝0.83＝0.512. (2)对该盏灯来说，第一次、第二次都更换了灯管的