特训二 中档大题保分练(7)（Word练习）（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

特训二　中档大题保分练(7) 1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知△ABC的外接圆半径R＝2，且tanB＋tan C＝. (1)求B和b的值； (2)求AC边上高的最大值． 解：(1)由tan B＋tan C＝，得＋＝， 即sin B cos C＋cos B sin C＝sin A cos B，可得sin (B＋C)＝sin Acos B. 在△ABC中，sin (π－A)＝sin A cos B， 即sin A＝sin A cos B. 而0<A<π，即sin A>0，于是cos B＝. 又0<B<π，解得B＝. 因为△ABC的外接圆半径R＝2， 由正弦定理得b＝2R sin B＝4×＝4， 所以B＝，b＝4. (2)由(1)知，B＝，b＝4，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得16＝a2＋c2－2ac cos ≥(2－)ac， 于是ac≤＝8(2＋)，当且仅当a＝c时取等号． 令△ABC的边AC上的高为h，则由bh＝S△ABC＝acsin B， 得h＝ac＝ac＝ac≤×8(2＋)＝2＋2. 所以AC边上高的最大值是2＋2. 2．已知数列{an}满足a1＝1，＝1＋2an. (1)求证：为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设cn＝4n2anan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn. (1)证明：因为＝1＋2an，所以＝＝＋2，即－＝2. 所以是以＝1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以an＝. (2)解：由(1)知cn＝4n2anan＋1＝＝＝＝1＋＝1＋(－)， 所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝n＋(1－＋－＋…＋－)＝n＋. 3．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. (1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率； (2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心．记选择西式点心的种数为X，求使得P(X＝1)取得最大值时n的值． 解：(1)设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”． 根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8. 由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7， 所以王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. (2)由题意，X的可能取值有0，1，2，3. 由超几何分布可知P(X＝1)＝＝. 令an＝， 又n∈N*，所以an＋1≥an，可得(n＋1)(n＋3)≥(n＋6)(n－1)，解得n≤9. 易知当n＝9或n＝10时，P(X＝1)的值相等． 所以当n＝9或n＝10时，P(X＝1)有最大值为， 即当n的值为9或10时，使得P(X＝1)最大． 4．如图，在圆台OO1中，A1B1，AB分别为上、下底面直径，AB＝2A1B1＝4，C为的中点，M为线段BC的中点，CC1为圆台的母线，C1M与圆台下底面所成的角为45°. (1)求证：C1C⊥平面OBC1； (2)求平面OMC1与平面BMC1夹角的余弦值． (1)证明：连接OO1，C1O1，则OO1⊥平面ABC. 因为CC1为母线，所以CC1O1O四点共面，且O1C1∥OC. 取CO的中点N，连接C1N，MN，如图． 因为AB＝2A1B1＝4，所以ON＝C1O1＝1， 所以四边形ONC1O1为平行四边形，所以C1N∥O1O，所以C1N⊥平面ABC. 所以∠C1MN为C1M与底面所成的角，即∠C1MN＝45°.所以MN＝C1N＝1. 在Rt△C1NO中，C1N＝NO＝1，所以C1O＝.同理C1C＝. 在△C1CO中，CO2＝C1O2＋C1C2，所以C1C⊥C1O. 因为OO1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以OO1⊥AB. 因为C为的中点，所以AB⊥CO. 又OC∩O1O＝O，OC⊂平面C1O1OC，O1O⊂平面C1O1OC， 所以AB⊥平面C1O1OC. 又CC1⊂平面C1O1OC，所以C1C⊥AB. 又因为C1C⊥C1O，AB∩C1O＝O，AB⊂平面BOC1，C1O⊂平面BOC1， 所以C1C⊥平面BOC1. (2)解：以O为原点，分别以，，所在的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz， 则C(2，0，0)，O(0，0，0)，B(0，2，0)，C1(1，0，1)，M(1，1，0). 所以＝(1，－1，0)，＝(1，－2，1)，＝(1，1，0)，＝(1，0，1). 设平面BMC1的一个法向量为n1＝(x