特训二 中档大题保分练(3)（Word练习）（Word练习）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

特训二　中档大题保分练(3) 1．已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－cos2ωx＋(ω>0)，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，bc＝12，f(A)＝1.若角A的平分线AD交BC于点D，求AD的长． 解：(1)f(x)＝sinωx cos ωx－cos2ωx＋ ＝sin2ωx－cos 2ωx＝sin (2ωx－). 设函数f(x)的最小正周期为T.由题意得()2＋4＝4＋，即()2＝，解得ω＝1. 所以f(x)＝sin (2x－). (2)由f(A)＝1得sin (2A－)＝1，即2A－＝2kπ＋，k∈Z， 解得A＝kπ＋，k∈Z. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 因为AD为角A的平分线， 所以S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即bc sin ＝c·AD·sin＋b·AD·sin ，可得AD＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc，因为bc＝12，a＝4， 所以(b＋c)2＝52.因此AD＝＝. 2．设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S3＝a5，且a2－2，a3，S5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2－，求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由S3＝a5得3a2＝a5，整理得d＝2a1. 因为a1－2，a3，S5成等比数列， 所以a＝(a2－2)S5＝5(a2－2)a3， 解得a3＝0(舍去)或a3＝5a2－10. 又由d＝2a1，可解得a1＝1，d＝2，满足条件． 故an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)由(1)得Sn＝＝n2，所以bn＝2－＝2－n＝()n，所以an·bn＝(2n－1)()n， 所以Tn＝1×＋3×()2＋5×()3＋…＋(2n－1)×()n， 则Tn＝1×()2＋3×()3＋5×()4＋…＋(2n－1)×()n+1. 两式相减得Tn＝1×＋2[()2＋()3＋…＋()n]－(2n－1)×()n+1＝＋2×－(2n－1)×()n+1＝－(2n＋3)()n+1. 所以Tn＝3－(2n＋3)()n. 3．元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种．方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元(含6万元)，可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6 折，若摇出2个幸运号则打7 折；若摇出1个幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折． (1)若某型号的车正好为6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率； (2)若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案． 解：(1)若选择方案二比方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运球． 设顾客不打折即三次没摇出幸运球为事件A，则P(A)＝××＝， 故所求概率P＝1－P(A)P(A)＝1－()2＝. (2)若选择方案一，则需付款10－0.6＝9.4(万元). 若选择方案二，设付款金额为X万元，则X可能的取值为6，7，8，10， P(X＝6)＝××＝，P(X＝7)＝××＋2×××＝， P(X＝8)＝2×××＋××＝，P(X＝10)＝. 故X的分布列为 X 6 7 8 10 P 所以E(X)＝6×＋7×＋8×＋10×＝7.937 5(万元)<9.4(万元). 所以选择第二种方案更划算． 4．如图，在多面体ABCEF中，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，D为AB的中点，EF∥CD，EF＝1，BF⊥平面AEF. (1)求证：四边形EFDC为矩形； (2)当三棱锥A­BEF体积最大时，求平面AEF与平面ABE夹角的余弦值． (1)证明：因为∠ACB＝120°，AC＝BC＝2，D为AB的中点， 所以CD⊥AB，且CD＝BC sin 30°＝1. 又因为EF＝1，所以CD＝EF. 因为EF∥CD，所以四边形EFDC为平行四边形． 因为BF⊥平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BF⊥EF，所以CD⊥BF. 因为BF∩AB＝B，BF，AB⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF，因为DF⊂平面ABF， 所以CD⊥DF，所以四边形EFDC为矩形． (2)解：由(1)可知，EF⊥平面ABF，BF⊥平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以BF⊥AF，AB＝2＝2， 所以三棱锥A­BEF的体积V＝S△ABF·EF＝AF·BF≤(AF2＋BF2)＝AB2＝1， 当且仅当AF＝BF时等号成立，此时