（练习）章末综合测评1-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

章末综合测评(一) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 D　[法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D． 法二：由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝．又＝，所以BC＝3．故选D．] 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝，B＝，a＝4，则b＝　(　　) A． B． C．2 D．2 C　[因为＝，所以b＝＝＝2．] 3．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形 C　[由题知B为最大角， 设边BC，AC，AB分别为a，b，c． cos B＝＝－<0， 所以B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．] 4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则A的对边的长为(　　) A． B． C． D． D　[因为S△ABC＝bcsin A＝，A＝60°，b＝1，所以c＝4．由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝13．所以a＝．] 5．在△ABC中，c＝，则bcos A＋acos B等于(　　) A．1 B． C．2 D．4 B　[因为bcos A＋acos B＝b·＋a·＝＝c＝，故选B．] 6．一艘军舰在一未知海域向正西方向行驶(如图所示)，在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北30°方向上，行驶4千米到达B处后，测得C在西偏北75°方向上，此时看山顶D的仰角为30°，则此岛屿露出海平面的部分CD的高度为(　　) A．千米 B．千米 C．千米 D．2千米 B　[在△ABC中，∠A＝30°， ∠ACB＝75°－30°＝45°， 由正弦定理得BC＝＝2， CD＝BCtan 30°＝，所以CD的高度为千米．] 7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则a的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．2 D　[由正弦定理得＝，得＝，即a＝6cos B．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得9＝36cos2 B＋1－2×6cos B×1×cos B，解得cos B＝或cos B＝－．又A＝2B，所以A＋B＝3B＜π，所以0＜B＜，所以cos B＝，所以a＝6cos B＝2．] 8．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，且DC＝AC,2AC＝AD，AB＝2AD，则sin B等于(　　) A． 　　　　　 B． C． 　　　　　 D． C　[设AD＝x，则DC＝AC＝x，AB＝2x．在△ACD中，由余弦定理， 得cos C＝＝＝，所以sin C＝． 在△ABC中，由正弦定理，得＝， 所以sin B＝＝＝．] 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知锐角三角形ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c＝4，B＝60°，则b的可能取值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 CD　[在△ABC中，c＝4，B＝60°， 由＝，得b＝＝＝． 因为0<C<，所以sin C∈(0,1)，即有b>2． 若b＝4，则b＝c，即B＝C＝60°，△ABC为等边三角形，符合题意； 若b＝5，则sin C＝∈，且b>c，即B>C，所以30°<C<60°，所以60°<A<90°，符合题意．故选CD．] 10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为 ACD　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11， 所以可设(x>0) 解得 所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6， 所以A正确； 由上可知c最大，所以△ABC中角C最大， 又cos C＝＝＝>0，所以C为锐角，所以B错误； 由上可知，a最小，所以△ABC中角A最小， 又cos A＝＝＝，所以co