（练习）课时分层作业16 平行直线与异面直线-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(十六) 一、选择题 1．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(　　) A．60° B．120° C．30° D．60°或120° D　[因为α与β的两边对应平行，所以α与β相等或互补，故β为60°或120°．] 2．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 D　[如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD1在平面AA1D1D中，直线BB1，BC1在平面BB1C1C中，但AD1∥BC1，AD1与BB1异面，又直线AB在平面ABCD中，显然AD1∩AB＝A．] 3．如果两条异面直线称为“一对”，那么正方体的12条棱中，异面直线共有(　　) A．12对 B．24对　 C．36对 D．48对 B　[如图所示，正方体中与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1．因为各棱具有相同的位置，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算，所以异面直线共有＝24对．] 4．(多选题)下列结论中，错误的是(　　) A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线互相垂直 AD　[A中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；B中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；C中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么两角相等或互补，故选项C正确；D中，如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线可能平行，也可能为异面直线，故选项D错误．] 5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．直线GH和MN平行，GH和EF相交 B．直线GH和MN平行，MN和EF相交 C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面 B　[易知GH∥MN，又因为E，F，M，N分别为所在棱的中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，故选B．] 二、填空题 6．空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则MN (AC＋BD)(填“≥”“＞”“≤”“＜”“＝”符号)． ＜　[取BC中点E，连接EM、EN(图略)，则 相加EM＋EN＝(AC＋BD)， 又EM＋EN＞MN，所以MN＜(AC＋BD)．] 7．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出两个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交． 其中正确的命题是 ．(只填序号) ①　[由平行线的传递性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确．] 8．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的有 ． ①　　　　　　② ③　　　　　　④ ②④　[①中连接GM(图略)，则四边形GHNM为平行四边形，所以GH∥MN；③中HG与NM延长后与三棱柱的侧棱交于一点；②④中GH与MN为异面直线．] 三、解答题 9．如图，E，F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形． [证明]　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1， 因为E是AA1的中点， 所以EQA1D1， 又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1， 所以EQB1C1， 所以四边形EQC1B1为平行四边形， 所以B1EC1Q． 又因为Q，F分别是矩形DD1C1C的边DD1，CC1的中点， 所以QDC1F， 所以四边形DQC1F为平行四边形， 所以C1QDF， 又因为B1EC1Q，所以B1EDF， 所以四边形B1EDF为平行四边形． 10．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点． 求证：∠NMP＝∠BA1D． [证明]　如图，连接CB1，CD1， 因为CDA1B1， 所以四边形A1B1CD是平行四边形， 所以A1D∥B1C． 因为M，N分别是CC1，B1C1的中点， 所以MN∥B1C，所以MN∥A1D． 因为BCA1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1． 因为M，P分别是CC1，C1D1的中点，所以MP∥CD1， 所以MP∥A1B，所以∠NMP和∠BA1D的两边分