（练习）课时分层作业15 平面的基本事实与推论-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(十五) 一、选择题 1．下列空间图形画法错误的是(　　) A　　　 B　　　 C　　　　D D　[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．] 2．给出下列四个说法，其中正确的是(　　) A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内 B．三条平行直线共面 C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点 D．空间三点确定一个平面 C　[对于A，线段AB在平面α内，则直线AB一定在平面α内，故A错误； 对于B，三条平行直线不一定共面，比如正方体AC1中，三条平行线AB，DC，A1B1不共面，故B错误； 对于C，两平面有一个公共点，则这两平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C正确； 对于D，空间中不共线的三点确定一个平面，故D错误．] 3．下图中正确表示两个相交平面的是(　　) A　　　　B　　　C　　　　　D D　[A中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚线；B中不可见的线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画；D中交线及实、虚线均正确．故选D．] 4．(多选题)下列叙述中正确的是(　　) A．若点P∈α，P∈β且α∩β＝l，则P∈l B．空间中任意三点A，B，C能确定一个平面 C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面 D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α ACD　[选项A：由平面的基本事实3知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，所以选项A正确；选项B：由平面的基本事实1知，经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面，即当三点A，B，C不共线时，能确定一个平面，所以选项B错误；选项C：由平面的推论2知，两条相交直线，确定一个平面，所以选项C正确；选项D：由平面的基本事实2知，如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内，所以选项D正确．] 5．(多选题)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 ABD　[选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错；A、B、D均正确．] 二、填空题 6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M l． ∈　[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．] 7．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ． 36　[正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．] 8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，试根据图形填空： (1)平面AB1∩平面A1C1＝ ； (2)平面A1C1CA∩平面AC＝ ； (3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝ ； (4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为 ． [答案]　(1)A1B1　(2)AC　(3)OO1　(4)B1 三、解答题 9．求证：三棱台A1B1C1­ABC三条侧棱延长后相交于一点． [证明]　如图，延长AA1，BB1， 设AA1∩BB1＝P， 又BB1⊂平面BC1， 所以P∈平面BC1， AA1⊂平面AC1， 所以P∈平面AC1， 所以P为平面BC1和平面AC1的公共点， 又因为平面BC1∩平面AC1＝CC1， 所以P∈CC1， 即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P． 10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由． [解]　如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，因为D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD． 又因为D1F⊂平面BED1F， DA⊂平面ABCD， 所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD． 所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD)， 即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， 所以连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线． 11．(多选题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线