（练习）课时分层作业14 祖暅原理与几何体的体积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(十四) 一、选择题 1．已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　) A． B． C． D． D　[V＝Sh＝××3＝．] 2．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 C　[半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3， 所以π×(3x)3÷＝3．] 3．(多选题)已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5．下列说法正确的是　(　　) A．以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B．以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π AD　[以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，故A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，故C错误，D正确．] 4．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　) A．6 cm B．6 cm C．2 cm D．3 cm B　[由题设可知两种器皿中的水的体积相同，设圆锥内水面高度为h，圆锥的轴截面为正三角形， 由图可得，＝tan 30°， 所以r＝h．故V圆柱＝6×π×22＝24π(cm3)，V圆锥＝π··h．又V圆柱＝V圆锥， 所以h＝6 cm．] 5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是(　　) A．1∶∶ B．6∶2∶ C．6∶2∶3 D．3∶2∶6 C　[设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π×2＝π． V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3．] 二、填空题 6．一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为 ． 　[设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝．] 7．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是 ． 54　[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，所以πr2h1＝12．令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，所以h＝h1，所以V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54．] 8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为 ． 　[设大、小两球半径分别为R，r，则 所以 所以体积和为πR3＋πr3＝．] 三、解答题 9．如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面． (1)计算圆柱的表面积； (2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比． [解]　(1)已知圆柱的底面半径为r，则圆柱和圆锥的高为h＝2r，圆锥和球的底面半径为r， 则圆柱的表面积为S圆柱表＝2×πr2＋4πr2＝6πr2． (2)由(1)知V圆锥＝πr2×2r＝πr3，V圆柱＝πr2×2r＝2πr3，V球＝πr3，V圆锥∶V球∶V圆柱＝πr3∶πr3∶2πr3＝1∶2∶3． 10．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积． [解]　法一：如图所示，连接EB，EC． 由题意，得VE­ABCD＝×42×3＝16． 因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF．所以VF­EBC＝VC­EFB＝VC­ABE＝VE­ABC＝×VE­ABCD＝4． 所以V＝VE­ABCD＋VF­EBC＝16＋4＝20． 法二：如图所示，取AB，DC的中点G，H，连接EG，GH，EH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得棱柱EGH­FBC． 由题意，得VE­AGHD＝S四边形AGHD×3＝×4×4××3＝8， VEGH­