（练习）课时分层作业13 旋转体-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(十三) 一、选择题 1．下列几何体中是旋转体的是 (　　) ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④ D　[根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．] 2．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为　(　　) A　　 　　 B　　　　 C　　　D C　 [截面图形应为图C所示的圆环面．] 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为(　　) A． B． C． D． A　[设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π．] 4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是(　　) A．54π B．8π C．4π D．16π A　[S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π．] 5．(多选题)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为　(　　) A．π B．(1＋)π C．2π D．(2＋)π AB　[如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是等腰直角三角形的斜边，所以所形成的几何体的表面积是S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝(＋1)π．如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的底面半径是等腰直角三角形斜边上的高，两个圆锥的母线都是等腰直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π． 综上可知，形成的几何体的表面积是(＋1)π或π．] 二、填空题 6．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的表面积是 ． 2π＋4π2　[由题意可知，2πr＝h＝2π，则r＝1，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π2．] 7．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是 ． 　[如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l， 由题意得 解得r＝， 所以底面积为πr2＝π×＝．] 8．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为 ． 100π　[设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r． 由母线长为10可知10＝＝5r， 所以r＝2． 故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8． 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π．] 三、解答题 9．圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积． [解]　圆台的轴截面如图所示， O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心，过点D作DF⊥AB于点F，交GH于点E． 由题意知DO1＝1，AO2＝4，所以AF＝3． 因为DE＝2EF， 所以DF＝3EF， 所以＝＝． 所以GE＝2． 所以圆O3的半径为3，所以这个截面的面积为9π． 10．已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积． [解]　如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R， 由6a2＝120，得a2＝20， 在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝a， 由勾股定理，得R2＝a2＋＝＝30． 所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)． 11．若两球的表面积之差为48π，两球面上的两个大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为(　　) A．12 B．2 C．12π D．2π B　[设大球的半径为R，小球的半径为r，依题意得⇒ 所以R－r＝＝＝2．] 12．我国古代数学名著中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”(注：1丈等于10尺)(　　) A．29尺 B．24尺 C．26尺 D．30尺 C　[由题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，其一条边(圆木的高)长24尺，与其相邻的边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长＝＝26(尺)．] 13．一个球放在墙角且与墙角的三个面都相切，球心到墙角的距离是3，则球的表面积为 ． 12π　[设球心为A，墙角为O，则OA＝3，过A分别作三个墙面的垂线AB，AD，AA1，垂足为B，