（练习）课时分层作业10 构成空间几何体的基本元素-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(十) 一、选择题 1．若α，β是两个不同的平面，则它们的公共点有(　　) A．0个　　　　　　　　　 B．0个或1个 C．无数个 D．0个或无数个 D　[由题意知，两个平面可能平行，也可能相交，若α∥β，则它们没有公共点，若α与β相交，则它们有无数个公共点．] 2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　) A．α内的所有直线均与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内直线均与a相交 D．直线a与平面α有公共点 D　[因为直线a不平行于平面α，所以直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α，所以直线a与平面α有公共点．] 3．(多选题)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中成立的是(　　) A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面 ABC　[连接A1B(图略)，因为E，F分别是AB1，BC1的中点， 所以EF是△A1BC1的中位线， 所以EF∥A1C1，故ABC正确，D错误．] 4．已知直线m⊂平面α，Pm，Q∈m，则(　　) A．Pα，Q∈α B．P∈α，Qα C．Pα，Qα D．Q∈α D　[由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α．] 5．平面α与平面β平行，且a⊂α，下列四种说法中 ①a与β内的所有直线都平行； ②a与β内无数条直线平行； ③a与β内的任意一条直线都不垂直； ④a与β无公共点． 其中正确的个数是(　　) A．1　　　B．2 C．3　　　D．4 B　[如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′⊂平面A′B′C′D′，AB⊂平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错．] 二、填空题 6．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对． 6　[如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线的是：A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以组成6对异面直线．] 7．如图所示，用符号语言表示以下各概念： (1)点A，B在直线a上 ； (2)直线a在平面α内 ； (3)点D在直线b上，点C在平面α内 ． (1)A∈a，B∈a　(2)a⊂α　(3)D∈b，C∈α　[根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：(1)A∈a，B∈a，(2)a⊂α，(3)D∈b，C∈α．] 8．过三棱柱ABC­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条． 6　[如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1． ] 三、解答题 9．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明． [解]　直线PQ与平面AA′B′B平行．证明如下： 连接AD′，AB′，则P是AD′的中点，在△AB′D′中， 由已知条件可得PQ是△AB′D′的中位线， 因为平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′， 所以PQ在平面AA′B′B外，又PQ在平面AB′D′内，且与直线AB′平行， 所以PQ与平面AA′B′B没有公共点， 所以PQ与平面AA′B′B平行． 10．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b． (1)判断c与α的位置关系，并说明理由； (2)判断c与a的位置关系，并说明理由． [解]　(1)c∥α．因为α∥β，所以α与β没有公共点， 又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α． (2)c∥a．因为α∥β，所以α与β没有公共点， 又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ， 所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a． 11．已知如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　) A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线 B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线 C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线 D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线 C　[设正方体的棱长为2，则EF＝A1B＝，GH＝＝＝，所以GH≠2EF． 设M，N分别为CC1和A1D1的中点，则六边形EFGMHN是过E，F，G，H四点的平面截正方体的截面，所以EF与GH是共面直线，且EF与GH不平行，所以EF与GH是相交直线．故选C．] 12．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列说法正确的有 (　　) A．AD1∥平面BCC1B1