（练习）课时分层作业9 空间几何体与斜二测画法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(九) 一、选择题 1．关于斜二测画法所得直观图的说法，正确的是(　　) A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D　[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．] 2．如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则梯形O′A′B′C′的高为(　　) A． B． C． D． A　[因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S＝×(1＋3)×1＝2，所以等腰梯形OABC的直观图的面积S′＝2×＝．设梯形O′A′B′C′的高为h，则×(1＋3)×h＝，解得h＝．故选A．] 3．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 B　[由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB．] 4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　) A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm D　[圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm．故选D．] 5．如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′＝2，则△ABC的面积为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 D　[因为等腰Rt△A′B′C′是一平面图形的直观图，直角边长为A′B′＝2， 所以直观图的面积是×2×2＝2， 因为平面图形与直观图的面积的比为2， 所以原平面图形的面积是2×2＝4．] 二、填空题 6．在棱长为4 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为 cm，棱A′A1′的长为 cm． 2　4　[在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm．] 7．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 5　[由于该矩形的面积S＝5×4＝20，所以由公式S′＝S，得其直观图的面积为S′＝S＝5．] 8．如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为 ． 6　[由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，所以S△AOB＝OA·OB＝6．] 三、解答题 9．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积． [解]　由已知中四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为的平行四边形．故原图形的面积为2． 10．如图所示，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图．其中A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1． (1)如何利用斜二测画法法则画出原四边形？ (2)如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积？ [解]　(1)如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2， 在过点D与y轴平行的线上截取DA＝2D1A1＝2．在过点A与x轴平行的线上截取AB＝A1B1＝2．连接BC，擦去作图过程中的辅助线，即得到了原四边形． (2)由图可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底边长度分别为2,3，直角腰的长度AD＝2，所以面积S＝×2＝5． 易得直观图中梯形的高为，因此其面积S′＝×(2＋3)×＝． 11．(多选题)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原三角形ABC中(　　) A．AB与AC相等 B．AD的长度大于AC的长度 C．AB的长度大于AD的长度 D．BC的长度大于AD的长度 AC　[根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，如图．首先建立平面直角坐标系xOy，BC∥x轴，并且BC＝B′C′，D是BC的中点，并且作AD∥y轴，即AD⊥BC，且AD＝2A′D′，连接AB，AC，所以△ABC是等