（练习）课时分层作业8 复数的三角形式及其运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(八) 一、选择题 1．复数－i的三角形式是(　　) A．cos＋isin　 B．cos＋isin C．cos－isin D．cos＋isin A　[－i＝cosπ＋isinπ ＝cos＋isin ＝cos＋isin．] 2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　　) A． B．或 C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) D　[因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，所以θ＝＋kπ(k∈Z)．] 3．复数sin 4＋icos 4的辐角主值为(　　) A．4 B．－4 C．2π－4 D．－4 D　[sin 4＋icos 4＝cos＋isin．] 4．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　) A． B． C． D． A　[因为1＋i＝， cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ) ＝ ＝．] 5．4(cos π＋isin π)÷2＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i C　[4(cos π＋isin π)÷2＝2 ＝2＝－1＋i． 故选C．] 二、填空题 6．已知z＝cos＋isin，则arg z2＝ ． π　[因为arg z＝，所以arg z2＝2arg z＝2×＝．] 7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是 ． 1－i　[(1＋i) ＝ ＝ ＝＝1－i．] 8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角主值是 ． 　[由题知，z1＝2， z2＝2， 所以的辐角主值为－＝．] 三、解答题 9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式． [解]　因为z1＝2， 设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z1z＝8． 由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)．又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i． 10．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2． [解]　由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝， 所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝， 所以z2＝＝＋i， z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2＝－＋i． 11．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值是，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－ D．－ B　[因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝， 所以所以a＝－1，故选B．] 12．设π＜θ＜，则复数的辐角主值为(　　) A．2π－3θ B．3θ－2π C．3θ D．3θ－π B　[＝＝cos 3θ＋isin 3θ．因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜， 所以π＜3θ－2π＜，故选B．] 13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为 ． z＝2　[由z2＋2z＋4＝0， 得z＝(－2±2i)＝－1±i． 因为arg z∈，所以z＝－1－i应舍去， 所以z＝－1＋i＝2．] 14．2(cos 300°＋isin 300°)÷ ＝ ． －＋i　[2(cos 300°＋isin 300°)÷ ＝2÷ ＝ ＝ ＝－＋i．] 15．已知k是实数，ω是非零复数，且满足arg ω＝，(1＋)2＋(1＋i)2＝1＋kω． (1)求ω； (2)设z＝cos θ＋isin θ，θ∈[0,2π)，若|z－ω|＝1＋，求θ的值． [解]　(1)arg ω＝，可设ω＝a－ai(a<0)， 将其代入(1＋)2＋(1＋i)2＝1＋kω， 化简可得2a＋2a(1＋a)i＋2i＝ka－kai， 所以解得 所以ω＝－1＋i． (2)|z－ω|＝|(cos θ＋1)＋(sin θ－1)i| ＝ ＝ ＝． 因为|z－ω|＝1＋， 所以＝1＋， 化简得cos＝1． 因为0≤θ<2π，≤θ＋<2π＋， 所以θ＋＝2π，即θ＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$