（练习）课时分层作业5 复数的几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(五) 一、选择题 1．复数z＝1－4i的共轭复数是(　　) A．1＋4i B．－4＋i C．－1＋4i D．－1－4i A　[复数z＝1－4i的共轭复数是＝1＋4i． 故选A．] 2．复数z＝＋i3对应的点在复平面(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[由i2＝－1，z＝－i，对应点的坐标为(，－1)．]　 3．(多选题)下列命题中，真命题是(　　) A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2| ABC　[任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立， ∴A正确； 由复数相等的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确； 若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)， 若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|， 反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2， 如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确； 不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．] 4．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则(　　) A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 D　[由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2．故选D．] 5．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i B　[因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i．] 二、填空题 6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝ ． －2＋3i　[复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)，所以z2＝－2＋3i．] 7．已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为 ． －1－5i　[因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)．又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i．] 8．设(x＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ ． 　[因为x＋i＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝．] 三、解答题 9．已知复数z1＝－i，z2＝－＋i． (1)求||，||的值并比较大小； (2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？作图表示． [解]　(1)||＝|＋i|＝＝2， ||＝＝＝1． 所以||＞||． (2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2． 不等式1≤|z|≤2等价于不等式组 因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)， 而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)， 所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示． 10．已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i互为共轭复数，求复数z＝x＋yi和． [解]　因为x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i互为共轭复数， 所以得到关于x，y的方程组 解得或所以或 11．(多选题)已知复数z＝a＋i(a∈R)，则下列结论错误的是(　　) A．＝－a＋i B．|z|≥1 C．z一定不是纯虚数 D．在复平面内，z对应的点可能在第三象限 ACD　[z＝a＋i的共轭复数为＝a－i，所以A错误；|z|＝≥1，所以B正确；当a＝0时，z是纯虚数，所以C错误；在复平面内，z对应的点为(a,1)，因为纵坐标y＝1，所以不可能在第三象限，所以D错误．故选ACD．] 12．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是 ． 5　[由复数的几何意义可知， ＝x＋y， 即(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)， 所以(3，－2)＝(－x＋y,2x－y)， 由向量相等可得， 解得 所以x＋y＝5．] 13．若t∈R，t≠－1且t≠0，复数z＝＋i，则当t＝ 时，|z|的最小值为 ． －　　[|z|2＝＋≥2··＝2， 当且仅当＝， 即t＝－时取等