（练习）课时分层作业2 余弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(二) 一、选择题 1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． B　[因为a＞b＞c，所以C为最小角，由余弦定理得 cos C＝＝＝， 所以C＝．] 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝　(　　) A． B． C．2 D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3(b＝－舍去)．] 3．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不存在 B　[因为c2<a2＋b2，所以C为锐角．因为a<b<c，所以C为最大角，所以△ABC为锐角三角形．] 4．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，它的面积为，则角A＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　[由余弦定理得 ＝＝bccos A， 根据三角形面积公式得＝bcsin A， 所以sin A＝cos A． 又A为△ABC的内角， 所以A＝45°．故选B．] 5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D． B　[由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，所以ab＝．则△ABC的面积为S＝absin C＝．] 二、填空题 6．已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝ ．　 30°　[由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×＝12， 所以c＝2． 由正弦定理＝得， sin A＝＝＝． 因为a＜c，所以A＜60°． 所以A＝30°．] 7．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为 ． 　[由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°， 整理得：AC2＋5AC－24＝0， 解得AC＝3或AC＝－8(舍去)， 所以由正弦定理可得＝＝．] 8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ ． 　[由题意，得a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝．] 三、解答题 9．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝． (1)求b的值； (2)求sin C的值． [解]　(1)因为b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝． (2)因为cos B＝，所以sin B＝． 由正弦定理＝，得＝， 所以sin C＝． 10．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围． [解]　因为2a＋1，a,2a－1是三角形的三边， 所以 解得a＞，此时2a＋1最大． 所以要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)＞2a＋1，解得a＞2． 设最长边2a＋1所对的角为θ，则 cos θ＝＝＜0， 解得＜a＜8，所以a的取值范围是2＜a＜8． 11．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　) A． B．5 C．6 D．7 B　[连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5．] 12．(多选题)三角形有一个角是60°，夹这个角的两边长分别为8和5，则(　　) A．三角形另一边长为6 B．三角形的周长为20 C．三角形内切圆面积为3π D．三角形外接圆周长为π BC　[由余弦定理可得另一边长为＝7，则A错误，B正确．设内切圆半径为r，则(8＋7＋5)r＝×8×5sin 60°，则r＝，则内切圆面积为πr2＝3π，则C正确．设外接圆半径为R，则2R＝，其周长为2πR＝π，则D错误．] 13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－，则sin C＝ ；当a＝2,2sin A＝sin C时，则b＝