（讲义）第11章 11.3 11.3.3 平面与平面平行-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.3.3　平面与平面平行 1．掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．(一般) 2．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命题．(重点) 3．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(重点、难点) 1．通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养． 2．借助两平面平行的判定与性质定理的学习，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养． 请同学们拿一个三角板做下面的实验． 思考　(1)三角板的一条边所在的直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？ (2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何？ 知识点1　两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β＝l 无数个点(共线) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)没有公共点的两平面平行． (　　) (2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行． (　　) (3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行． (　　) [提示]　(1)由平面与平面平行的定义知正确． (2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误． (3)两平面可能相交． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 知识点2　平面与平面平行的判定定理与推论 语言叙述 符号表示 图形表示 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ⇒α∥β 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是(　　) A．平面AA1D1D　　　　 B．平面AA1B1B C．平面DD1C1C D．平面ABCD A　[根据图形及平面与平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D．] 知识点3　平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m⇒l∥m 图形语言 推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． [拓展] 两平面平行还有以下性质 (1)证明线面平行的常用方法：α∥β，a⊂β⇒a∥α． (2)夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等． (3)经过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行． (4)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交． 3．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　) A．两两相互平行 B．两两相交于一点 C．两两相交但不一定交于同一点 D．两两相互平行或交于同一点 A　[根据面面平行的性质，知四条直线两两互相平行．] 类型1　平面与平面平行的判定 【例1】　(教材P104例1改编)已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交，求证：平面BCE∥平面ADF． [思路探究]　由四边形ABCD是正方形，证得BC∥平面ADF，由四边形ABEF为菱形，证得BE∥平面ADF，即可利用面面平行的判定定理，证得平面BCE∥平面ADF． [证明]　因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD． 因为BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF， 所以BC∥平面ADF． 因为四边形ABEF是菱形，所以BE∥AF． 因为BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF， 所以BE∥平面ADF． 因为BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，所以平面BCE∥平面ADF． 常见面面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点； (2)判定定理法：转化为线面平行； (3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行； (4)利用平面与平面平行的判定定理的推论． 1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC． [证明]　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， 所以MQ∥AD，NQ∥BP．又因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC． 因为四边形ABCD为平行四边形．所以BC∥AD，所以MQ∥BC．又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC．又因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC． 类型2　面面平行的性质定理的应用 1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？ [提示]　如图，连接SB， 因为E，G分别是BC