（讲义）第11章 11.3 11.3.2 直线与平面平行-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.3.2　直线与平面平行 1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点) 2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点) 1．通过空间直线与平面位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养． 2．借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养． 一般地，在我们的教室里，日光灯所在的直线与地面是平行的；将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，则封面的外边缘所在直线与桌面是平行的；门的两边是平行的，当门绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面是平行的．这些生活中的实例都给我们留下了直线与平面平行的印象． 思考：(1)现实生活中，你还能举出哪些直线与平面平行的例子？ (2)直线与平面平行又如何去判断呢？直线与平面平行又有怎样的性质呢？ 知识点1　直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个 公共点 有且只有一 个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 1．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一平面的位置关系为(　　) A．平行　　　　　　　 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 D　[由题知，这条直线可能在另一平面内，也可能与另一平面平行．] 知识点2　直线与平面平行的判定定理 判定定理 符号表示 图形表示 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 如果l⊄α， m⊂α，l∥m， 则l∥α 2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b D　[A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D．] 知识点3　直线与平面平行的性质定理 性质定理 符号表示 图形表示 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行 如果l∥α， l⊂β， α∩β＝m， 则l∥m 3．下列说法正确的是(　　) A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交 C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点 D　[A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．] 类型1　直线与平面平行的判定 【例1】　S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝．求证：MN∥平面SBC． [证明]　如图所示，连接AN并延长交BC于点P，连接SP． 因为AD∥BC．所以＝， 又因为＝，所以＝，所以MN∥SP，又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，所以MN∥平面SBC． 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： (1)空间直线平行关系的传递性法． (2)三角形中位线法． (3)平行四边形法． (4)成比例线段法． 提醒：线面平行判定定理应用的误区 (1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 1．(多选题)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　　) BCD　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB． 因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交， 所以直线AB与平面MNQ相交． B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ． 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ． C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ． 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ． D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ． 又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．故选BCD．] 类型2　直线与平面平行的性质定理的应用 【例2】　(1)(教材P102例2改编)如图，在四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，P