（讲义）第11章 11.3 11.3.1 平行直线与异面直线-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.3　空间中的平行关系 11.3.1　平行直线与异面直线 1．能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题．(重点) 2．理解异面直线的定义，会判断两直线异面．(难点) 3．理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题．(一般) 1．借助两直线平行的判定与性质，提升逻辑推理的核心素养． 2．通过等角定理的学习，培养直观想象的核心素养． 前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系：相交、平行、异面．在这里我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质． 思考：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是初中所学的两个结论，如果去掉“同一平面内”这个条件，在空间中这两个结论还成立吗？ 知识点1　平行直线与等角定理 1．平行直线 (1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)平行线的传递性 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性． 符号表述：⇒b∥c． 2．等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？ [提示]　相等或互补． 1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 B　[因为AB∥PQ，BC∥QR， 所以∠PQR与∠ABC相等或互补． 因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．] 2．如图，AA′是长方体ABCD­A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有 条． 3　[因为四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形， 所以AA′∥BB′，AA′∥DD′． 又四边形BCC′B′为长方形， 所以BB′∥CC′，所以AA′∥CC′． 故与AA′平行的棱共有3条，分别是BB′，CC′，DD′．] 知识点2　异面直线的判定 1．异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线． 2．异面直线的画法： 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图所示． 3．异面直线的一种判断方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线． (　　) (2)若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b异面． (　　) (3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线． (　　) (4)若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．　 (　　) [提示]　(1)×．没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线． (2)×．若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线． (3)×．若a，b是异面直线，a，c是异面直线，那么b，c可以平行，可以相交，可以异面． (4)√．由异面直线的概念可知这个说法正确． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 知识点3　空间四边形 4．已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝．则四边形EFGH的形状是(　　) A．空间四边形　　 B．平行四边形 C．矩形 D．梯形 D　[在△ABD中可得EH∥BD, EH＝BD，在△CBD中可得FG∥BD，FG＝BD，所以EH，FG平行且不相等，所以四边形EFGH是梯形．] 类型1　空间两直线位置关系的判断 【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是 ． (1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面　[(1)在正方体AC1中，因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C． (2)因为B∈平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，BB1C，又A1平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面． (3)因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交． (4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面．] 判定两条直线是异面直线的方法有哪些？ (1)证明两条直线既不平行又不相交． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B