（讲义）第11章 11.2 平面的基本事实与推论-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.2　平面的基本事实与推论 1．掌握平面的画法及表示方法．(一般) 2．掌握平面的基本事实及推论．(重点)　 3．能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点) 1．通过平面画法的学习，培养直观想象的数学核心素养． 2．借助平面的基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养． 通过前面的学习，我们直观认识了点、线、面之间的位置关系，空间中的点、线、面都是我们抽象出来的一些数学概念，如从平静的水面中可抽象出平面的概念．现在我们将在直观认识的基础上来论证空间点、线、面之间的关系，以进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力． 思考：空间中的3个点需具备怎样的条件才能确定一个平面？ 知识点1　平面的基本事实 公理 内容 图形 符号 作用 基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据； ②判定点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α ①判定直线是否在平面内； ②判断一个面是否是平面 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上； ③证明三点共线或三线共点 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何里的平面是有厚度的，有边界的． (　　) (2)若线段AB在平面α内，则直线AB在平面α内． (　　) (3)平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点． (　　) (4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． (　　) [提示]　(1)几何里的平面是没有厚度，无限延展而没有边界的． (2)直线AB在平面α内，因为线段AB在平面α内，所以线段AB上的所有点都在平面α内，故线段AB上A，B两点一定在平面α内，由基本事实2可知直线AB在平面α内． (3)平面α与平面β相交，它们有无限个公共点，这些点都在同一条直线上． (4)如三点共线，这两个平面有可能相交，也可能重合，所以该命题错误． [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，Cl，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　) A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D D　[根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．] 知识点2　平面基本事实的推论 推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(图①)． 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三点可以确定一个平面． (　　) (2)一条直线和一个点可以确定一个平面． (　　) (3)四边形是平面图形． (　　) (4)两条相交直线可以确定一个平面． (　　) [提示]　(1)错误．不共线的三点可以确定一个平面． (2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． (3)错误．四边形不一定是平面图形． (4)正确．两条相交直线可以确定一个平面． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 4．三条直线两两相交，可确定平面的个数是 ． 1或3　[当三条直线共点时可确定三个或一个平面，当三条直线不共点时可确定一个平面．] 类型1　点、线共面问题 【例1】　(教材P93例1改编)已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内． [思路探究]　四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况． [解]　已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面． 证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，因为Od，所以经过d与点O有且只有一个平面α．因为A，B，C分别是d与a，b，c的交点，所以A，B，C三点在平面α内．由基本事实2知a，b，c都在平面α内，故a，b，c，d共面． (2)若a，b，c，d无三线共点，如图所示， 因为a∩b＝A， 所以经过a，b有且仅有一个平面α， 所以B，C∈α．由基本事实2知c⊂α． 同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面． 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内． 证明点、线共面问题的常用方法有哪些？ (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用纳入法． (2)先由其中一部分点、线确定一