（讲义）第11章 11.1 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 1．理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题．(重点、难点) 2．知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点) 1．通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培养数学运算核心素养． 2．借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养． 祖暅(ɡènɡ)，祖冲之之子，是我国古代南北朝时期的数学家，他在总结前人研究的基础上，总结出祖暅原理．在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实． 知识点1　祖暅原理 (1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”． (2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． 知识点2　柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径． 名称 体积(V) 柱体 棱柱 Sh 圆柱 πr2h 锥体 棱锥 Sh 圆锥 πr2h 台体 棱台 h(S＋＋S′) 圆台 πh(r2＋rr′＋r′2) 球 πR3 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)球是曲面几何体，其体积公式不会推导出来． (　　) (2)锥体的体积等于底面面积与高之积． (　　) (3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥． (　　) [提示]　(1)×．虽然球是曲面几何体，但可以利用祖暅原理推导其体积公式． (2)×．锥体的体积等于底面面积与高之积的． (3)√．沿着三棱柱的三个面对角线，其中有两对共点，将三棱柱割开，则这三个三棱锥的体积相等，所以该命题正确． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(　　) A．15π B．30π C．12π D．36π C　[圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π．] 类型1　求柱体的体积 【例1】　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． [解]　V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， 所以此几何体的体积： V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)． 柱体体积问题的处理方法 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素． 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比． [解]　设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r， 则有 由①得r＝a， 由②得πrh＝2a2， 所以V圆柱＝πr2h＝a3， 所以V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2． 类型2　求锥体的体积 【例2】　(教材P83例1改编)如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比． [解]　设棱台的高为h，S△ABC＝S，因为AB∶A1B1＝1∶2，则S△A1B1C1＝4S． 所以VA1­ABC＝S△ABC·h＝Sh， VC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh． 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， 所以VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1 ＝Sh－－＝Sh， 所以三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积比为1∶2∶4． 割补法与等积法求锥体体积 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法． 2．如图，已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1­D1EF的体积． [解]　由V三棱锥A1­D1EF＝V三棱锥F­A1D1E，因为S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，又三棱锥F­A1D1E的高为CD＝a，所以V三棱锥F­A1D1E＝×a×a2＝a3． V三棱锥A1­D1EF＝a3． 类型3　求台体的体积 【例3】　(教材P84例2改编)已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2．求正四棱台的体积． [思路探