（讲义）第10章 10.3 复数的三角形式及其运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

*10.3　复数的三角形式及其运算 1．通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 1．借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养．2．通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养． 前面已经学习过了复数的两种表示：一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数． 思考：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？ 知识点1　复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值 一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝， 根据任意角余弦、正弦的定义可知 cos θ＝，sin θ＝． 因此a＝rcos θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcos θ)＋(rsin θ)i＝r(cos θ＋isin θ)， 上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角． 显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的． (　　) (2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式． (　　) (3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式． (　　) (4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．复数z＝1＋i的三角形式为z＝ ． 　[r＝，cos θ＝＝， 又因为1＋i对应的点位于第一象限， 所以arg(1＋i)＝． 所以z＝．] 知识点2　复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝ ＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． (3)[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]． 3．计算：(1)6×4＝ ； (2)6÷4＝ ． (1)24i　(2)＋i　[(1)6×4 ＝24 ＝24i． (2)6÷4 ＝ ＝ ＝＋i．] 类型1　复数的代数形式与三角形式的互化 角度1　代数形式化为三角形式 【例1】　(教材P44例1改编)把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)＋i； (2)－i． [解]　(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限， 所以cos θ＝， 即θ＝， 所以＋i＝2． (2)r＝＝2，cos θ＝， 又因为－i对应的点位于第四象限， 所以θ＝． 所以－i＝2． 复数的代数形式化为三角形式分为哪四个步骤？ (1)先求复数的模． (2)确定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式． 提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值． 角度2　三角形式化为代数形式 【例2】　分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)4； (2)(cos 60°＋isin 60°)； (3)2． [解]　(1)复数4的模r＝4，辐角主值为θ＝． 4＝4cos＋4isin ＝4×＋4×i＝2＋2i． (2)(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角主值为θ＝60°． (cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i ＝＋i． (3)2 ＝2 ＝2． 所以复数的模r＝2，辐角主值为π． 2＝2cosπ＋2isinπ ＝2×＋2×i． ＝1－i． 由三角形式转化为代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可. 1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)－； (3)； (4)cos＋isin． [解]　根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式． (1)原式＝． (2)原式＝ ＝． (3)原式＝ ＝． 类型2　复数三角形式的乘、除运算 【例3】　计算： (1)8×4； (2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；