（讲义）第10章 10.2 10.2.1 复数的加法与减法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

10.2　复数的运算 10.2.1　复数的加法与减法 1．掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算．(重点) 2．理解复数加、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点) 1．通过复数代数形式的加、减运算的几何意义，培养直观想象的素养． 2．借助复数代数形式的加、减运算，提升数学运算的素养． 随着虚数的产生，数系得到了进一步的扩充．同时，随着科学技术的进步，逐步建立起来的复变函数理论在研究堤坝渗水问题、建设大型水电站等领域也有广泛的应用．而复变函数理论中离不开复数的加、减、乘、除运算．1747年，法国著名的数学家达朗贝尔(1717—1783)指出，如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算，那么运算的结果总是a＋bi的形式，其中a，b都是实数．他开创了复数四则运算的先河． 思考：复数中的加法、减法应如何规定，也能满足类似于实数加法的交换律与结合律吗？ 知识点1　复数代数形式的加、减法 1．运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． (2)两个共轭复数的和一定是实数． 2．加法运算律 设z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1， (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的加法运算符合实数加法的运算律． (　　) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数． (　　) (3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i　　B．1－i　　C．i　　　D．－i A　[原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i．] 知识点2　复数加、减法的几何意义 (1)若复数z1，z2对应的向量分别为，． 复数加法的几何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 (2)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|； ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|． 3．(1)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　) A．2＋4i B．－2＋4i C．－4＋2i D．4－2i (2)已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．　 (1)D　(2)1－i　[(1)依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i．故选D． (2)＝2－1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．] 类型1　复数的加减法运算 【例1】　(1)(教材P35例1改编)＋(2－i)－＝ ． (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z． (3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z． (1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i＝1＋i．] (2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i． 法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i． (3)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝． 又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得 解得 所以z＝－4＋3i． 复数代数形式的加、减法运算的技巧是怎样的？ (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； (2)复数的加、减法运算结果仍是复数； (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算； (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝ ； (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝ ； (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝ ． (1)6＋i　(2)－7＋7i　(3)－11i　[(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i． (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i． (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i) ＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i．] 类型2　复数加减法的几何意义 【例2】　如